有限体
ガロア体とも言う
位数が有限の体
完全体である
有限体$ \mathbb{F}_q
q元体と呼ぶ
位数(要素数)が$ qの有限体
この$ qのことを元体という
$ qは素数$ pのべき乗
$ q=p^n
この$ pを標数と言う
$ GF(q)とも表記する
定理
位数が$ pの有限体が存在する
$ \Leftrightarrowある素数$ pと正の整数$ nが存在して$ q=p^n
要は、$ \mathbb{F}_qが体になるときの$ qは必ず「素数の冪」になる
逆に言えば、素数の冪にならない数$ qに対しては体を構成できない
ex
$ 11は素数なので$ \mathbb{F}_{11}は体
$ 8は素数の冪($ 2^3)なので$ \mathbb{F}_8は体
$ 6は素数の冪ではないので、$ \mathbb{F}_6は構成できない
標数$ pに対し、$ \mathbb{F}_p\sub\mathbb{F}_qが成り立つ
例
$ \mathbb{F}_2=\{0,1\}
四則演算して2で割った余り、と定義する
ex. $ 1+1=0、$ 0-1=1
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