標数
characteristic
memo
標数は、有限体に対して見たときにちょっと特殊な性質が見られる このノートに書いていることは有限体固有のことも多いので、
有限体と関連させた良い感じのメモを用意したほうが良いかもしれないmrsekut.icon
定義
$ \forall a\in \mathbb{F}に対して$ pa=0が成り立つような$ pの内、最小のものを標数と言う
もちろん$ p\in\mathbb{F}
$ aを単位元としている定義はなんで？
任意性は言わなくていいの？
定理
有限体$ \mathbb{F}_qの標数が$ p$ \Leftrightarrow$ 1\cdot p=0 有限体$ \mathbb{F}_qの標数が素数$ pならば、 $ q=p^h, h\in\mathbb{N}と表せる
つまり位数$ qは、素数$ pの冪乗である
例
例えば$ \mathbb{Z}_5=\{\overline{0},..,\overline{4} \}では、任意の元に$ p=5を掛けると$ \overline{0}になる
え、でも「最小のもの」なら0じゃないんか？mrsekut.icon