ペアノの公理

自然数を定義する公理のこと

1889年に発表されたGiuseppe Peano自身の記述はもっと冗長であった ref

全く同じことをより形式的に示したものがペアノシステム

参考にする文献によって、0を含んだり含まなかったりしてる

このノートでは含むものをメモる

ペアノ自然数は、一進数、と言えるのねmrsekut.icon

1つ数値が上がることに、1桁増えるから

公理

$ 0 \in N

0は自然数である

0は集合$ Nの要素である

$ \forall n \in N(s(n) \in N)

任意の自然数$ nに対しても、後続数$ s(n)は自然数である

$ \forall n \in N(s(n) \neq 0)

0はいかなる数の後者ではない

$ \forall m \in N\forall n \in N(s(n)=s(m) \Rightarrow m = n)

$ \left( P ( 0 ) \wedge \forall k \in N[ P ( k ) \Rightarrow P \left( s(k) \right)] \right) \Rightarrow \forall n \in N [ P ( n )]

自然数nに関する述語P(n)で、以下のaとbが成り立つとする

a. 0はPを満たす

b. どんな自然数kに対しても、P(k)ならばP(s(k))である。

このとき、どんな自然数nに対しても、P(n)が成り立つ

P(n)は命題を表す

上述の内、最後の公理は、数学的帰納法

あらゆる$ k\in Nに対しての公理を作っている

だから言い換えれば、ペアノの公理は無限個の公理から成る

ペアノの公理の一意性