無限公理
axiom of infinity
公理
空集合を要素として含み、任意の要素$ xに対して$ x ∪ \{x\}を要素に持つ集合が存在する
論理式で書くなら
$ \exists A(\emptyset \in A \wedge \forall x \in A(x \cup\{x\} \in A))
以下の2つを含むような集合$ Aが存在する
$ \emptyset
$ x\cup\{x\}
$ \forall x\in A
$ \emptysetから始めて公理を適用すると
$ \emptyset
$ \emptyset\cup\{\emptyset\}
$ \emptyset\cup\{\emptyset\}\cup\{\emptyset\cup\{\emptyset\}\}
...
とやっていけば、これらは無限個ある
そしてそれら全部を元として持つような集合$ Aが存在する
というのが、無限公理の主張
だから、「無限集合が(少なくとも1つは)存在する」ことを言っていることになる
元$ xに対して、$ x\cup\{x\}を「$ xの次の集合」と見れば自然数が構成できそうな感じがイメージしやすい
後者関数を$ s(n)=n\cup\{n\}で定義する https://gyazo.com/aa35a957263df467d91dc17cb51ac404
各$ n\in\mathbb{N}に対し、$ n\in s(n)であり、$ n\sube s(n)でもある
ことがわかる