ファノ平面
$ PG(2,2)
https://gyazo.com/ca740a11b0d155ec74e0ed3ad030cfc8
lineは7本
円も含める
e.g. [100]
点$ Pがファの平面の点であるとき、$ P\in\mathrm{PG}(2,2)のように表記する
e.g. $ (1,0,0)\in\mathrm{PG}(2,2)
「$ Q\in\mathrm{PG}(2,q)」のような表記を見たときに、「$ Qは点である」ということを思い出したいmrsekut.icon
点は7個
e.g. 111
具体例
上図の3点$ 100 , $ 101 , $ 001 から成るlineを$ [abc]((a, b, c)\ne (0,0,0)) とすると、
abcと3点の内積が0なので、$ [abc] = [010] と分かる
https://gyazo.com/0c7822701223fb1a0f07824ba4868315
もっと具体的に書くと、以下の方程式を解いて$ a,b,cを求めている
$ a1+b0+c0=0
$ a1+b0+c1=0
$ a0+b0+c1=0
更に、上述の条件より$ (a,b,c)\ne(0,0,0)
これより$ a=0,b=1,c=0
$ m(100) =m(010) =m(001) = 1
$ m(111) = 2
$ m(110) =m(011) =m(101) = 0
で定義する
定理19.3とか？(和が$ n=5になる)
$ m([010]) =m(100) +m(101) +m(001) = 1 + 0 + 1 = 2 のようにカウントしていくと、
最終的に$ (a_0, a_2, a_3) = (1,3,3)を得る
例えば$ a_2=3は、重複度$ 2のlineが3本あるという意味mrsekut.icon
以下の定理19.4より$ G が生成する$ [5,3,d]_2 符号$ Cの重み分布は $ (A_5,A_3,A_2,A_0)=(1,3,3,1)となり
具体的に書くとmrsekut.icon
$ A_{n-0}=A_5=(q-1)1
$ A_{n-2}=A_3=(q-1)3
$ A_{n-3}=A_2=(q-1)3
$ A_{n-5}=A_0=(q-1)a_5=q-1 #?? であり、$ q=2,n=5なので。
$ d=2とわかる
なぜならば定理19.3
つまり$ d=n-3=5-3=2
$ \max\{m(l)|l: \mathrm{line} \;\mathrm{in} \;\mathrm{PG}(2,q)\}は$ (1,3,3)の中のmaxなので3mrsekut.icon
定理19.4
$ a_iから、符号の重み分布を調べる
$ A_{n-i}=(q-1)a_i
補足
$ a_i=|\{l:\mathrm{line}|m(l)=i\}|
lineの重み分布みたいなやつ
例: $ (a_0, a_2, a_3) = (1,3,3)のとき
例えば$ a_2=3は、重複度$ 2のlineが3本あるという意味
例: $ [11,3,6]_2 符号$ \mathcal{C}の生成行列$ Gを構成する
定理19.3より、以下の2つが言える
①7点の重複度の総和は$ 11
②$ m(l)\le5
ファノ平面の図的に、点は3種類に分けられる
三角形の頂点(3つ)
三角形の辺の中点(3つ)
円の中心(1つ)
同じ者同士は対等であると考えられる
なので、①より11を7に分けるなら以下のパターンしか考えられない
3つの2、3つの1、1つの2
これで総和は$ 11=2*3+1*3+2*1
ここで問題になるのは、3つの1と2を頂点と辺のどちらにするかだが、②を使えば決まる
三角形の頂点(3つ)→2
三角形の辺の中点(3つ)→1
円の中心(1つ)→2
書き込むと
https://gyazo.com/87dcfa0a1c9ad33b2ffc351c88945fb3
生成行列を構成する
各点を、重複度の個数分、並べればいい
∵重複度の定義
例えば点$ 100の重複度は2なので、$ 100を2個並べる
結果的に以下が得られる
$ G=\begin{pmatrix}1&1&0&0&0&0&1&1&0&1&1 \\ 0&0&1&1&0&0&1&0&1&1&1 \\ 0&0&0&0&1&1&0&1&1&1&1\end{pmatrix}
順番は関係ない。等価なものになる
まとめると
$ Gは、$ k\times nだが、
$ nは$ n=\sum_{P\in\mathrm{PG}(2,q)}m(P)から来てる
つまり、$ q^2+q+1個分の重複度がわかっていれば求まるmrsekut.icon
$ qは$ \mathrm{PG}(2,q)で与えられる
$ k は符号の形式$ [n,k,d]_q から与えられているはず
例題
$ PG(2,q) の全ての点を列として1つずつ並べてできる行列$ G を生成行列とする$ [n,3,d]_q 符号$ \mathcal{C}の長さ$ nと最小距離$ dと$ A_dを求めよ
解答
以下の性質がわかっている
①$ Gは$ k\times n行列
②「$ PG(2,q) の全ての点を列として1つずつ並べてできる行列$ G を生成行列とする」
∵問題文
④$ n=\sum_{P\in\mathrm{PG}(2,q)}m(P)
∵ 定理19.3
つまり$ q^2+q+1個の重複度の総和
これらより、$ PG(2,q)の各点の重複度は1であることがわかる
なぜなら、①②より、点の個数と$ Gの列数(つまり$ n)が等しくなることがわかる
これと③より、$ n=q^2+q+1
これと④より、各点の重複度は$ 1
以下の性質より、各lineの重複度が得られる
⑤上の議論
⑥各lineは$ q+1個の点を含む
⑦lineの重複度$ m(l)=\sum_{P\in l}m(P)
これらより、任意のlineの重複度は$ m(l)=q+1
よって、⑧$ a_{q+1}=q^2+q+1
よって最小距離$ dは
⑨$ d=n-\max\{m(l)|l: \mathrm{line} \;\mathrm{in} \;\mathrm{PG}(2,q)\}=n-(q+1)=(q^2+q+1)-(q+1)=q^2
∵ 定理19.3
また、$ d=n-(q+1)(∵ ⑨の途中式)と、⑧と、定理19.4より、
$ A_d=(q-1)a_{q+1}=(q-1)(q^2+q+1)=q^3-1