重複度
multiplicity
点の重複度$ m(P)
$ Pが$ Gの列として現れる回数
前提
$ \mathcal{C} は$ [n,3,d]_q 符号
その生成行列$ Gは$ \bm{0}列を含まないとする 具体例
lineの重複度$ m(l)
$ m(l)=\sum_{P\in l}m(P)
lineが含む点の重複度の総和
前提
$ \mathcal{C} は$ [n,3,d]_q 符号
その生成行列$ Gは$ \bm{0}列を含まないとする 具体例
$ m(T)=\sum_{P\in T}m(P)=\sum_{i\gt0}i\cdot|T\cap \Sigma_i|
補足
超平面$ Hの重複度を$ m(H)=\sum_{P\in H}m(P)と定めると、以下が成り立つ $ n=\sum_{P \in \mathrm{PG}(k-1, q)} m(P)=\sum_{i} i \cdot\left|\Sigma_{i}\right|
$ d=n-\max \{m(H) \mid H: \mathrm{hp} \text { in } \mathrm{PG}(k-1, q)\}
$ a_i=|\{ H:hp|m(H)=i\}のとき、重みが$ n-iの符号語の個数$ A_{n-i}=(q-1)a_i
$ [n,k,d]_q 符号$ \mathcal{C}が射影的のとき、$ \Sigma=\Sigma_0\cup\Sigma_1,n=|\Sigma_1|で
$ d=n-\max \{|H\cap\Sigma_1| \mid Hは PG(k-1,q)のhp\}
$ \theta_{k-2}-(n-d)=\min \{|H\cap\Sigma_0| \mid HはPG(k-1,q)のhp\}
$ G=\begin{pmatrix}c_1 \\ c_2 \\ c_3\end{pmatrix}とすると、$ c\in\mathcal{C}(c\ne 0)は$ c=\lambda_1c_1+\lambda_2c_2+\lambda_3c_3 ((\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)\in\mathbb{F}^3_1\backslash\{\bm{0}\})と表される。
このとき$ l=[\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3] とすると、
$ wt(c)=n-m(l)が成り立つ
$ [n,3,d]_q 符号$ \mathcal{C}の生成行列$ Gで定義された重複度$ mに対して以下が成り立つ
$ n=\sum_{P\in PG(2,q)}m(P)
$ d=n-\max(m(l)|l:\mathrm{line}\;\mathrm{in}\;PG(2,q))