コーシー列 - mrsekut-p

コーシー列

Cauchy sequence

項を順に見ていくと、項の変化がどこまでも小さくなっていくような数列のこと

いかにも収束と関係ありそうだねmrsekut.icon

収束列ならばコーシー列である

逆の「コーシー列ならば収束する」は一般には成り立たない

成り立つとき、その数列の空間が完備であるという

定義

実数列$ x_0,x_1,\cdots,x_l,\cdotsがコーシー列であるとは、任意の正数$ \epsilon\gt0に対して

$ k,l\ge Nならば$ \|x_l-x_k\|\le\epsilon

を満たすような自然数$ Nが存在することである

わかりにけーmrsekut.icon

$ m\times n行列の列$ A_0,A_1,\cdots,A_l,\cdotsがコーシー列であるとは、任意の正数$ \epsilon\gt0に対して、$ k,l\ge Nならば$ \|A_t-A_k\|\lt\epsilonを満たすような自然数$ Nが存在することである

単調増加数列$ x_0,x_1,\cdots,x_l,\cdotsについて、以下はすべて同値

上に有界である

コーシー列である

収束する

単調増加数列が上に有界ならば、それはコーシー列

単調増加数列でないコーシー列ってあるの？ #??

コーシー列の例

一般項が$ x_n=\frac{1}{2^n}で与えられるような数列$ \{x_n\}

その数列がコーシー列であることを判定する

コーシー列だが、収束しない数列の例 ref

$ \sqrt{2}を表すような数列

$ a_0=1

$ a_1=1.4

$ a_2=1.41

$ a_3=1.414

これは、コーシー列であるが、収束しない

$ \sqrt{2}は無理数なことを思い出せ

参考