2項分布

Claude 3.5 Sonnet.icon

以下の特徴を持つ事象を模型化するのに使用されます：

試行の独立性：各試行が互いに独立している。つまり、一つの試行の結果が他の試行に影響を与えない。

二値の結果：各試行の結果が「成功」か「失敗」の二つの可能性しかない。

確率の一定性：各試行における「成功」の確率が常に一定である。

試行回数の固定：試行回数が固定されている。

n回の独立した試行において、各試行の成功確率がpで一定の場合、ちょうどk回成功する確率P(X = k)は以下の式で表されます：

$ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{(n-k)}

特定の回数以上の成功が起こる確率を計算できる

例

コインを10回投げて、表が出る回数を調べる（コインが表を出す確率は0.5とする）

https://gyazo.com/244fa195de3196b07d3edd9e33208a5a

MEGA BIG(300円）を1億円買った時の1等が出る確率

https://gyazo.com/4877980e12fd7ddc15b0d8e55330a5d7

1億円かけても全然当たらなそう。やる価値なし。

台風が出て4試合中止になった場合

https://gyazo.com/ad1e2720f9cdbbd30d84ad462275fd0b

2400万円x5本はあたりそう

勝率65%の賭け

資産が1億円を下回る確率は34.2%

$ \Phi(z)=\int_{-\infty}^{z}\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\exp{\Big(-\frac{z^2}{2}\Big)dz}

$ Z=\frac{X-\mu}{\sigma}

$ \Phi(z)=\frac{1}{2}(1+\rm{erf}\Big(\frac{z}{\sqrt{2}}\Big ))

期待値と標準偏差を計算すると求めることができるので、計算する

総合期待値μ=n×(p×賞金−くじの価格)

くじの総数*各くじの期待値

n はくじを引く回数（333,333回）

p は当選確率

賞金は2400万円

くじの価格は300円

ここで、𝜇_ticketは1回のくじあたりの期待値

$ \mu_{ticket}=𝑝(賞金)−くじの価格

$ Z=\frac{1億円-\mu}{\sigma}

これを計算すると0.342となる

code:py

# 定数の設定

n = 333333 # くじを引く回数

p = (1/4)**8 # 当選確率

prize = 24000000 # 当選した場合の賞金

ticket_cost = 300 # くじの価格

initial_assets = 100000000 # 初期資産（1億円）

# 1回のくじあたりの期待値を計算

expected_value_per_ticket = (p * prize) - ticket_cost

# 総合期待値を計算

total_expected_value = n * expected_value_per_ticket

# 1回のくじの分散を計算

variance_per_ticket = p * (prize - expected_value_per_ticket)**2 + (1 - p) * (-ticket_cost - expected_value_per_ticket)**2

# 総分散を計算

total_variance = n * variance_per_ticket

# 標準偏差を計算

std_dev = np.sqrt(total_variance)

# 最終資産の期待値を計算

final_expected_assets = initial_assets + total_expected_value

# 資産が1億円を下回る確率を計算

z_value = (initial_assets - final_expected_assets) / std_dev

probability_below_initial = 0.5 * (1 + np.math.erf(z_value / np.sqrt(2)))

probability_below_initial