標準正規分布の累積分布関数を誤差関数で表す
Φ(z) を誤差関数$ \rm{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt \pi} \int_{0}^{x}\exp{(-t^2)dt}を用いて次のように表現できます $ \Phi(z)=\frac{1}{2}(1+\rm{erf}\Big(\frac{z}{\sqrt{2}}\Big ))
証明
$ \Phi(z)=\int_{-\infty}^{z}\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\exp{\Big(-\frac{z^2}{2}\Big)dz}において
$ z=\sqrt{2}tとすると
$ dz=\sqrt{2}dt
table:変数の範囲
z -inf z
t -inf z/√2
これらを使って
$ \Phi(z)=\int_{-\infty}^{\frac{z}{\sqrt{2}}}\frac{1}{\sqrt{\pi}}\exp{(-t^2)dt}
ここで$ \int_{-\infty}^{t}\exp{(-t^2)dt}=\frac{\sqrt{\pi}}{2}(1+\rm erf(t))を使うと
$ \begin{aligned} \Phi(z)&=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\frac{\sqrt{\pi}}{2}(1+\rm erf(\frac{z}{\sqrt{2}})) \\ &=\frac{1}{2}(1+\rm{erf}\Big(\frac{z}{\sqrt{2}}\Big )) \end{aligned}
$ \int_{-\infty}^{t}\exp{(-t^2)dt}=\frac{\sqrt{\pi}}{2}(1+\rm erf(t))はどこからくるのか
$ \int_{-\infty}^{\infty}\exp{(-x^2)dx}=\sqrt{\pi}である
左辺を積分範囲で分解すると
$ \int_{-\infty}^{\infty}\exp{(-x^2)dx}=\int_{-\infty}^{0}\exp{(-x^2)dx}+\int_{0}^{t}\exp{(-x^2)dx}+\int_{t}^{\infty}\exp{(-x^2)dx}=\sqrt{\pi}(1)
また、ガウス関数は偶関数なのでxに対して対称なので
$ \int_{-\infty}^{0}\exp{(-x^2)dx}=\int_{0}^{\infty}\exp{(-x^2)dx}=\frac{\sqrt{\pi}}{2}
標準形を眺めるとこうなることがわかる
よって
$ \int_{t}^{\infty}\exp{(-x^2)dx}=\frac{\sqrt{\pi}}{2}-\int_{0}^{t}\exp{(-x^2)dx}
また、誤差関数の定義（の文字のtとxを入れ替えても意味を変えない）から
$ \int_{0}^{t}\exp{(-x^2)dx}=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\rm{erf}(t)
これを上式に代入して
$ \int_{t}^{\infty}\exp{(-x^2)dx}=\frac{\sqrt{\pi}}{2}(1-\rm erf(t))(2)
となる。
(1)を変形すると
$ \int_{-\infty}^{t}\exp{(-x^2)dx}=\sqrt{\pi}-\int_{t}^{\infty}\exp{(-x^2)dx}
となるので、(2)を代入すると
$ \begin{aligned} \int_{-\infty}^{t}\exp{(-x^2)dx}&=\sqrt{\pi}-\frac{\sqrt{\pi}}{2}(1-\rm erf(t)) \\ &= \frac{\sqrt{\pi}}{2}(1+\rm{erf}(t)) \end{aligned}
基素.icon近似ではなく式変形では