標準正規分布の累積分布関数

正規分布において、累積分布関数（CDF）は「ある値以下になる確率」を表しますGPT-4o.icon

期待値 μ, 標準偏差σの正規分布$ N(\mu,\sigma^2)の確率密度関数

$ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}}\exp{-\frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2}}

この分布に従う確率変数Xがあるとした時

$ Z=\frac{X-\mu}{\sigma}と定義する

「Xの期待値（中心）からのズレ」を標準偏差で割って、異なる分布を共通の基準で評価しようとしているGPT-4o.icon

全ての正規分布はこの変換によって、標準正規分布に変換することができます。この変換を、正規分布の標準化といいます。

Zは$ N(0, 1^2)（標準正規分布）に従う

このとき、Zの確率密度関数は以下のようになる

$ f(z) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\exp{\Big(-\frac{z^2}{2}\Big)}

これを−∞ から 𝑧で積分したものφを累積分布関数という

$ \Phi(z)=\int_{-\infty}^{z}\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\exp{\Big(-\frac{z^2}{2}\Big)dz}

このサイトでは$ [-\infty, z] の標準正規分布表を配布しているが他の多くは上側確率表だ