環上の加群
抽象代数学における環上の加群（かぐん、英: module）とは、 ベクトル空間を一般化した概念で、係数（スカラー）を体の元とする代わりに、より一般の環の元としたものである。 つまり、加群とは（ベクトル空間がそうであるように）加法的なアーベル群であって、 その元と環の元との間に乗法が定義され、その乗法が結合的かつ加法に関して分配的となるようなものである。
したがって環上の加群はアーベル群の一般化でもある。
したがって環上の加群はイデアルの一般化でもある。
このように環上の加群はベクトル空間・アーベル群・イデアルを包括する概念であるので、さまざまな議論を加群の言葉によって統一的に扱うことができるようになる。
定義
環 R 上の左 R-加群もしくは R-左加群とは、
アーベル群 (M, +) とスカラー乗法と呼ばれる作用 R × M → M の組であって、 その作用は、$ r, s ∈ R, x, y ∈ M は任意として、
（通常は、r ∈ R と x ∈ M に対して x のスカラー r-倍を単に文字を併置して rx と記す）
条件
$ r(x+y) = rx + ry
$ (r+s)x = rx + sx
$ (rs)x = r(sx)
$ 1_Rx = x
を満足するものでなければならない
分配法則、結合法則、乗法単位元の作用
最後の条件は R が乗法単位元を持つときで、それを $ 1_R で表している。
環が単位的であることを仮定しない文脈では、
R-加群の定義においてこの最後の条件も課されず、
特にこの条件をも満足することで定まる構造を単位的左 R-加群、単型 R-左加群などと呼んで区別する。
本項では用語の一貫性を図るため、特に断りの無い場合は環も加群も単位的であると仮定する。