ベクトル空間

vector space

一般的な定義

VがK上のベクトル空間であるとは、以下の演算と性質（公理）が定義されていることを言う

ただし

ベクトルとはVの要素のこと

スカラーとはKの要素のこと

演算

加法

任意のベクトルa,b に対して、ベクトルa+bが一つ決まる

スカラー倍

任意のベクトルaと任意のスカラーkに対して、　ベクトルkaが１つ決まる

性質(a,b,cはベクトル、k,lはスカラー

(a+b)+c = a + (b+c)

a+b = b+ a

ベクトル0が存在して、任意のaに対して a + 0 = 0 + a = a

各ベクトルaに対して、ベクトルa'が存在して、　a+ a' = a' + a = 0

(k + l) a = ka + la

k(a+b) = ka + kb

(kl)a = k(la)

1a = a（1はKの単位ベクトル

また公理は以下の呼称が一般的

table:公理

加法の結合律 u + (v + w) = (u + v) + w

加法の可換律 u + v = v + u

加法単位元の存在 零ベクトル 0 ∈ V が存在して、全ての v ∈ V において v + 0 = v を満たす。

加法逆元の存在 各ベクトル v ∈ V に、その加法逆元 −v ∈ V が存在して、v + (−v) = 0 とできる。

加法に対するスカラー乗法の分配律 a(u + v) = au + av

体の加法に対するスカラー乗法の分配律 (a + b)v = av + bv

体の乗法とスカラー乗法の両立条件 a(bv) = (ab)v

スカラー乗法の単位元の存在 1v = v （左辺の 1 は F の乗法単位元）

a(bv) = (ab)vは異なる演算に関していっているので結合性を言ってはいない

例

数ベクトル空間

体K上のベクトル空間としてK自身

また、K^n