任意の核は正規部分群
すなわちf : G -> G'において
Gの各元gに対してKer fは
$ g(Ker f)g^{-1} = Ker f
を満たすGの部分群である
ただし
$ g(Ker f)g^{-1} = \{ gxg^{-1} | x \in Ker f\}
証明
$ g \in G, x \in Ker f に対して
$ f(gxg^{-1}) = f(g)f(x)f(g)^{-1} = f(g)f(g)^{-1} = e'
したがって$ gxg^{-1} \in kerf すなわち
$ g(Kerf)g^{-1} \subset Ker f
逆に、$ g^{-1} x g \in ker fでもあるから、
$ x \in g(Ker f) g^{-1} すなわち$ Ker f \subset g(Ker f) g^{-1}
ゆえに $ g(Ker f)g^{-1} = Ker f