核は部分群 - 🍊miyamonz🍊

核は部分群

群準同型 f G -> G'に対して、

核はGの部分群

$ Ker f = \{x = G | f(x) = e'\}

(e'はG'の単位元）

証明

$ x,y \in Kerfとする

すなわち、$ f(x) = f(y) = e'の時

$ f(xy^{-1}) = f(x)f(y^{-1}] = f(x)f(y)^{-1} = e'(e')^{-1} = e'

ゆえに$ xy^{-1} \in Kerfとなり、Ker fはGの部分群である