ZFC公理系

ZFC

(0) (集合の存在) ∃x (x = x)

(1) (外延性公理) ∀x ∀y (∀z (z ∈ x ↔ z ∈ y) → x = y)

(3) (内包性公理図式) φ が論理式で y を自由変数として含まないとき

∀z ∃y ∀x (x ∈ y ↔ x ∈ z ∧ φ)

(4) (対の公理) ∀x ∀y ∃z (x ∈ z ∧ y ∈ z)

(5) (和集合公理) ∀F ∃A ∀Y ∀x (x ∈ Y ∧ Y ∈ F → x ∈ A)

(6) (置換公理図式) φ が論理式で Y を自由変数として含まないとき

∀A (∀x ∈ A ∃!y φ → ∃Y ∀x ∈ A ∃y ∈ Y φ)

(7) (無限公理) ∃x (0 ∈ x ∧ ∀y ∈ x (S(y) ∈ x))

(8) (冪集合公理) ∀x ∃y ∀z (z ⊂ x → z ∈ y)

(9) (選択公理) ∀A ∃R (R は A を整列順序づけする )

厳密には、上が閉論理式で書かれてないものがあるので、説明が必要