ZF公理系

外延性の公理

AとBが同じ要素を持つならAとBは等しい

$ \forall A \forall B (\forall x ( x \in A \leftrightarrow x \in B) \rightarrow A = B)

空集合の公理

要素を持たない集合が存在する

$ \exist A \forall x ( x \notin A)

外延性の公理から、空集合の公理が主張する集合は唯一と言える

任意の要素ｘ，ｙに対して、ｘとｙのみを要素とする集合が存在する

$ \forall x \forall y \exists A \forall t ( t \in A \leftrightarrow (t = x \vee t = y) )

外延性の公理から、ｘとｙに対して対の公理から存在を主張する集合は唯一

これを{x,y}とかく

{x,x}を{x}とかく

和集合の公理

任意の集合Xに対して、Xの要素の要素全体からなる集合が存在する

$ \forall X\exists A\forall t(t\in A\leftrightarrow \exists x\in X(t \in x))

外延性の公理から、Xに対しての和集合の公理が存在を主張する集合は唯一

無限公理

$ \exists A(\varnothing\in A\wedge \forall x\in A(x\cup\{x\}\in A))

冪集合公理

任意の集合Xに対してXの部分集合全体の集合が存在する

$ \forall X\exists A\forall t(t\in A\leftrightarrow t \subseteq X))

外延性の公理から、これは唯一

置換公理

"関数クラス"による集合の像は集合である

$ \forall x\forall y\forall z((\psi(x,y)\wedge\psi(x,z))\rightarrow y = z)\rightarrow\forall X\exists A\forall y(y\in A \leftrightarrow \exists x\in X\psi(x,y))

正則性公理（基礎の公理）

空でない集合は必ず自分自身と交わらない要素を持つ

$ \forall A(A\ne\varnothing\rightarrow\exists x\in A\forall t\in A(t\notin x))

「要素」の定義がないのでどうしたものかと思ったが、

集合という概念に紐付いたなんらかの述語と考えておけばよいのだろうか？

つまり、上の定義において登場する何らかの関係を示す言葉であり、定義はない？