最小多項式 (線型代数学)
線型代数学において、
体 F 係数の n × n 行列 A の
F 上の最小多項式（さいしょうたこうしき、英: minimal polynomial）とは、 p(A) が零行列となるようなものの中で
次数最小のものを言う。
q(A) = 0 となる F-係数多項式 q(x) は最小多項式 p(x) で割り切れる。
次の3つの主張は同値である：
λ ∈ F は、A の最小多項式 p(x) の根である。
A の最小多項式 p(x) における根 λ の重複度は、λ に対応する A のジョルダン細胞の最大次数を表す。 一般に、最小多項式は固有多項式と一致するとは限らない。
つまり、最小多項式と同じ根を持つが、多重度が多い場合が固有多項式にはある
例えば、$ 4I_n を考える。（$ In は n 次単位行列。）
この行列の固有多項式は $ (x − 4)^n である。
一方、$ 4I_n − 4I_n = 0 であることから、最小多項式は x − 4 である。
従って、n ≥ 2 ならば、$ 4I_n の最小多項式と固有多項式は一致しない。
定義
体 F 上の有限次元ベクトル空間 V 上の線型変換 T に対し、
$ I_{T}=\{p\in {\mathbf {F}}[x]\mid p(T)=0\}
とおく。
ここで F[x] は、F 上の一変数多項式環を表す。
$ I_{T} は、F[x] の真のイデアルとなる。
任意のイデアルは F の単元倍を除いて一意的な1つの多項式によって生成される。
したがってとくに $ I_T の生成元としてモニックな多項式をとることができ、これを T の最小多項式と言う。 最小多項式は、 $ I_{T} 中のモニック多項式の中で次数が最小のものである。