イデアルと部分環は違う
そもそも定義が違うのだが、
環を""割っていそう""、なんだかきれいな部分集合という点では似ていると思われる 部分環は、文字通り部分集合かつ、環として閉じていること $ x \in I, a \in R \Rightarrow ax \in I
となる点である。
乗法に関して、イデアルの元でないaをかけても、Iに関して閉じてしまうということ
これは倍数の性質の拡張と言える
$ 5 \in R
$ 2 \in I
↓
$ 10 \in I
2を5倍して10にする
５は２の倍数じゃないが
10は２の倍数
もう少し正確にいえばKerfのあれ
群に対する剰余群のような概念を環で考えると
部分環では無理で、イデアルじゃないと”割れ”ない
部分環の3つの定義のうち、上2つまではイデアルであれば成立する
3つめの「単位元１を含む」は別
イデアルが単位元１を含めば、当然I=Rの自明なイデアルになる