整域では、素元による分解は一意
定理（命題くらいかも）
整域$ Dの元$ d \in Dの、素元による分解 $ d = u p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_l^{a_l}
ただし
単元倍も許されない
は積の順序と単元の倍を除いて一意
特別な例
証明
２つの素元による分解が存在するとする（$ u, vは単元、$ p_i, q_jは素元）
$ d = u p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_l^{a_l} = v q_1^{b_1} q_2^{b_2} \cdots q_m^{b_m}
$ q_jの順序をうまく並び替えれば、以下の性質を満たせる
0. 因子の数は同じ：$ l = m
1. $ p_iと$ q_iは単元の倍を除いて同じ：$ p_i = u_i q_i
2. 同じ因子の指数は同じ：$ a_i = b_i
前処理：単元を処理
$ vは単元なので、逆元が存在し
$ uv^{-1}p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_l^{a_l} = q_1^{b_1} q_2^{b_2} \cdots q_m^{b_m}
また、同様に
$ p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_l^{a_l} = u^{-1}vq_1^{b_1} q_2^{b_2} \cdots q_m^{b_m}
任意の$ p_iに対して、単元の積を除いて$ p_iに等しい$ q_jが存在する
$ p_iは$ q_jを割り切る
$ p_iは素元であり、$ q_1^{b_1} \cdots q_m^{b_m}は$ p_iを割り切る
よって、$ p_iは$ q_1, \cdots, q_mのうちいずれかを割り切る
そのような$ p_iが割り切る元を一つ取って$ q_jとする
$ p_iと$ q_jは一対一対応：$ p_iと単元倍の関係の$ q_jを取る操作が一対一
上の議論により、任意の$ p_iに対して$ q_jが得られる
同様の議論を$ p, qを入れ替えることで、任意の$ q_jから単元倍の$ p_iが得られる
よって、$ p_i、$ q_jの対応は一対一
素因子の数は一緒：$ l=m
順番をうまく並び替えれば$ p_i=u_iq_iとできる
$ u_iは単元
同じ因子の指数が同じであることを示せば良い：$ a_i = b_i
$ a_i \geq b_iを示す
$ a_i < b_iと仮定する
任意の$ p_iに対して
$ up_1^{a_1} \cdots p_i^{a_i} \cdots p_l^{a_l} = p_1^{b_1} \cdots p_i^{b_i} \cdots p_l^{b_l} = (p_1^{b_1} \cdots p_i^{b_i-a_i} \cdots p_l^{b_l}) p_i^{a_i}
移行して整理すると
$ 0 = (up_1^{a_1} \cdots p_{i-1}^{a_{i-1}} p_{i+1}^{a_{i+1}} \cdots p_l^{a_l} - p_1^{b_1} \cdots p_i^{b_i-a_i} \cdots p_l^{b_l}) p_i^{a_i}
整域には零因子がないく、$ p_i^{a_i}は零でないので $ up_1^{a_1} \cdots p_{i-1}^{a_{i-1}} p_{i+1}^{a_{i+1}} \cdots p_l^{a_l} = p_1^{b_1} \cdots p_i^{b_i-a_i} \cdots p_l^{b_l}
$ b_i-a_i > 0より、右辺は$ p_iで割り切れる
左辺が、$ p_iで割り切れるならば、ある$ iでない$ jに対して$ p_i | p_jとなるが、$ p_i, p_jが素元であることに矛盾する
よって、矛盾
同様の議論により、$ a_i \leq b_iが示せる
よって、$ a_i = b_iとなる
一意分解でない整域は以下のどれか