二項関係に付与される公理系

二項関係に付与される4つの公理

それによって定められる数学的構造

表について

4つの公理について全16パターン

Tの追加で強い構造

逆関係は左右を入れ替えたものになる

ex. 写像の逆関係は全単射対応

二項関係の合成を行っても、両者が同じ公理を満たすなら保存される

制限の作用も追加

table:axioms

左一意右一意左全域右全域

単射函数的全射

二項関係

単射 T

全射 T

全単射 T T

部分写像 T

単射可逆 T T

全射 T T

全単射 T T T

非決定性写像 T

単射 T T

全射可逆 T T

全単射 T T T

写像 T T

単射 T T T

全射 T T T

全単射可逆 T T T T

域制限 +? + + -?

余域制限 + +? -? +

公理

$ R = \left\lang\mathrm{Binary\ relation}\colon X,Y;G \right\rang

$ x,x' \in X,$ y,y' \in Y

一意性

左一意 left unique

or 単射 injective

$ \forall x,x' \in X,\exist y \in Y,

$ xRy \wedge x'Ry \Rightarrow x = x'

右一意 right unique

or 函数的 functional

$ \forall y,y' \in Y, \exist x \in X,

$ xRy \wedge xRy' \Rightarrow y = y'

一対一 one to one

左一意かつ右一意

全域性

左全域 left total

$ \forall x, \exist y, xRy

つまり $ \operatorname{ddef}(R) = \operatorname{dom}(R)

右全域 right total

or 全射 surjective

$ \forall y, \exist x, xRy

つまり $ \operatorname{im}(R) = \operatorname{cod}(R)

(対応) correspondence

左全域かつ右全域な二項関係のみを対応と呼ぶ人もいる

Ref.icon 二項関係 - Wikipedia