二項関係
or
本質的には同じもの
用途によって名が異なる
写像としての扱いも
定義
$ R = \left\lang\mathrm{Binary\ relation}\colon X,Y;G \right\rang
or $ \left\lang\mathrm{BRel}\colon X,Y;G \right\rang
where
$ \operatorname{dom}(R) = X : 集合 $ \operatorname{cod}(R) = Y : 集合 $ \operatorname{graph}(R) = G \subseteq X × Y : 直積集合の部分集合 追加の定義
$ \operatorname{ddef}(R)=\pi_1(G) \subseteq X
$ \operatorname{im}(R)=\pi_2(G) \subseteq Y
二項関係として
命題「$ x \in X と$ y \in Y は$ R - 関係をもつ」
$ \iff (x,y) \in G
二項関係$ R \colon X \to Y
写像として$ R = \chi_G \colon X\times Y \to \mathbb B $ R(x,y) = x R y = ((x,y)\in G)
where
$ X = \operatorname{dom}(R)
$ Y = \operatorname{cod}(R)
$ G =\operatorname{graph}(R)
対応として
対応$ R \colon X \to Y
写像として$ R\colon X \to 2^Y
$ R(x) = \left\{y \in Y \mid (x,y) \in G\right\}
where
$ X = \operatorname{dom}(R)
$ Y = \operatorname{cod}(R)
$ G =\operatorname{graph}(R)
像 image
or 値 value
$ x\notin \operatorname{ddef}(R) のとき空集合になる
記号の濫用
そもそも$ \operatorname{graph}(R) を$ R と呼びがち
まあ実体としてはそうだけど
域、余域も重要