制限

定義

given

$ X' \triangleleft R \coloneqq \left\lang\mathrm{BRel}\colon X',Y;G' \right\rang

where

$ G' = \left\{ (x,y) \in G \mid x \in X' \right\}

$ = G \cap (X' × Y)

性質

$ \operatorname{dom}(X' \triangleleft R) = X'

$ \operatorname{cod}(X' \triangleleft R) = \operatorname{cod}(R) =Y

$ \operatorname{graph}(X' \triangleleft R) = G'

$ \operatorname{im}(X' \triangleleft R) = R_\triangleright(X')

像

定義

given

$ R \triangleright Y' \coloneqq \left\lang\mathrm{BRel}\colon X,Y';G'' \right\rang

where

$ G'' = \left\{ (x,y) \in G \mid y \in Y' \right\}

$ = G \cap (X × Y')

性質

$ \operatorname{dom}(R \triangleright Y') = \operatorname{dom}(R) =X

$ \operatorname{cod}(R \triangleright Y') =Y'

$ \operatorname{graph}(R \triangleright Y') = G''

$ \operatorname{ddef}(R \triangleright Y') = R^\triangleleft(Y')

逆像

二項関係の変質

域制限（左制限）を行うと

左一意性を得るかも

右一意性を得ることができる

右一意な領域で域制限

左全域性を得ることができる

ddefで域制限

右全域性をうしなうかも

余域制限（右制限）を行うと

左一意性を得ることができる

左一意な領域で余域制限

右一意性を得るかも

左全域性をうしなうかも

右全域性を得ることができる

imで余域制限

table:axiom

左一意 右一意 左全域 右全域

単射 函数的 全射

域制限 +? + + -?

余域制限 + +? -? +

写像に域制限しても必ず写像

写像に余域制限すると部分写像になるかも