変分法による Dirichlet's energy の最小化とラプラシアンの導出

有向曲面上に定義されたベクトル場 $ u ．

これの Dirichlet's energy を

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\frac{1}{2} \int_{S} \| \nabla u \|^2 ds

と定義する．

see: ベクトル場とスカラー場の面積分

これに境界上で 0 となる微小変位 $ \delta u を加えて変分をとると

code:tex

\begin{aligned}

\frac{1}{2} \int_S \left| \nabla ( u + \delta u ) \right|^2 ds

& = \frac{1}{2} \int_S \left| \nabla u \right|^2 ds + \int_S ( \nabla u ) \cdot ( \nabla \delta u) ds + O(\delta u^2) \\

& = \frac{1}{2} \int_S \left| \nabla u \right|^2 ds +\int_S \nabla \cdot ( \delta u \nabla u) ds - \int_S \delta u \Delta u ds + O(\delta u^2) \\

& = \frac{1}{2} \int_S \left| \nabla u \right|^2 ds + \int_{\partial S} \delta u \nabla u \cdot d{\bold s} - \int_S \delta u \Delta u ds + O(\delta u^2) \\

& = \frac{1}{2} \int_S \left| \nabla u \right|^2 ds - \int_S \delta u \Delta u ds + O(\delta u^2) \quad \because \delta u = 0 ~ {\rm in} ~ \partial S

\end{aligned}

ここで $ \nabla \cdot \left( f {\boldsymbol a} \right) = ( \nabla f ) \cdot {\boldsymbol a} + f ( \nabla \cdot {\boldsymbol a} ) とガウスの発散定理を用いた．

see: ベクトル解析の暗記メモ, ベクトル場とナブラ記号の暗記メモ

よって，Dirichlet's energy の微分は $ \Delta u となる．

#微分幾何学