ベクトル解析の暗記メモ
証明は参考書籍に書いてあります．
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集合D内の任意の2点に対して，それぞれ始点と終点とする道が存在するとき，Dは弧状連結
弧状連結な開集合を領域といい，$ \bar{D} = D \cup \partial D を閉領域という．
$ {\mathbb R}^2 においては，D内部の任意の単純閉曲線の内部がDに含まれるとき，Dは単連結．
$ {\mathbb R}^3 においては，D内部の任意の単純閉曲線に対して，それを縁とする曲面がD内部に存在するとき，Dは単連結．
以下，単連結領域に限定して議論する．
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$ {\mathbb R}^2 上のグリーンの定理
閉領域Dとその境界$ \partial D ，$ \partial D はDの内部が左側にある方向を正とする．
code:tex
\iint _ D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx dy = \int_{\partial D} P dx + Q dy
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ストークスの定理
有向局面$ S:{\boldsymbol r}(u,v), ~~ (u,v) \in D
S の境界の閉曲線$ C=\partial S，これは法線方向を上に，内部を左側に見て進む方向を正とする．
S上の各点の単位法線ベクトル$ {\boldsymbol n}
$ S 上のスカラー場 $ f について
code:tex
\begin{aligned}
\iint_S \left( \frac{\partial f}{\partial 3} n_2 - \frac{\partial f}{\partial 2} n_3 \right) ds & = \int_C f dx_1 \\
\iint_S \left( \frac{\partial f}{\partial 1} n_3 - \frac{\partial f}{\partial 3} n_1 \right) ds & = \int_C f dx_2 \\
\iint_S \left( \frac{\partial f}{\partial 2} n_1 - \frac{\partial f}{\partial 1} n_2 \right) ds & = \int_C f dx_3
\end{aligned}
S上のベクトル場$ {\boldsymbol v} について，上の式に上から$ f = v_x, v_y, v_z を代入し，足し合わせると
ストークスの定理
code:tex
\iint_S \left( \nabla \times {\boldsymbol v} \right) \cdot d {\boldsymbol s} = \int_{\partial S} {\boldsymbol v} \cdot d r
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ガウスの発散定理
有効閉曲面$ S:r(u,v) ，法線 $ {\boldsymbol n} は外側を向いているとする．
Sが囲む領域をVとする．
code:tex
\begin{aligned}
\iiint_V \frac{\partial f}{\partial x_i} dv & = \iint_S f n_i ds \\
\iiint_V \nabla f dv & = \iint_S f {\boldsymbol n} ds
\end{aligned}
ベクトル場$ {\boldsymbol v} について，第一式に$ f=v_1, v_2, v_3 を代入して足すと
ガウスの発散定理
code:tex
\iint_V \nabla \cdot {\boldsymbol v} dv = \iint_S {\boldsymbol v} \cdot d {\boldsymbol s}.
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$ {\mathbb R}^3 上のグリーンの定理
有効閉曲面S，$ {\boldsymbol n}は外向きの法線，囲まれる領域はV
code:tex
\begin{aligned}
\iiint_V \nabla \cdot ( \nabla f ) dv & = \iint_S (\nabla f) \cdot d {\boldsymbol s} \\
\iiint_V \nabla \cdot ( f\nabla g) dv & = \iiint_V \left\{ f \Delta g + ( \nabla f ) \cdot (\nabla g) \right\} dv = \iint_S f ( \nabla g ) \cdot d {\boldsymbol s} \\
\iiint_V ( f \Delta g - g \Delta f ) dv & = \iint_S \{ f ( \nabla g ) - g ( \nabla f) \} \cdot d {\boldsymbol s} = \iint_S \left\{ f \frac{\partial g}{\partial {\boldsymbol n}} - g \frac{\partial f}{\partial {\boldsymbol n}} \right\} ds .
\end{aligned}
法線方向の微分係数：
$ \phi はスカラー場，
$ \frac{\partial \phi}{\partial {\boldsymbol n}} = \frac{\partial \phi}{\partial x_k} n_k = (\nabla \phi) \cdot {\boldsymbol n}
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ポテンシャルと渦なしのベクトル場
スカラー場$ f の勾配を適当な経路で線積分すると，
code:tex
\int_C ( \nabla f ) \cdot dr = \int^b_a \frac{\partial f}{\partial x_k} \frac{d x_k }{d t} dt = \int^b_a \frac{d f(r(t))}{dt} dt = f(r(b)) - f(r(a)),
経路に依存しない．
単連結領域上のベクトル場$ v について，
$ v = \nabla f となるスカラー場$ fが存在する
$ \Leftrightarrow 任意の閉曲線Cに対して $ \int_C v \cdot dr = 0
$ \Leftrightarrow \nabla \times v = 0 (証明略).
上の条件を満たすベクトル場を，渦なし，層状といい，$ f をポテンシャルという．
ポテンシャルは定数ベクトルの差を除いて一意に定まる (証明略).
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ベクトルポテンシャルと湧き出しなしのベクトル場
ベクトル場$ \omega について，$ \nabla \cdot \omega = 0 となる場合，$ \omega は湧き出しなし，回転的，管状という．
あるベクトル場$ v について $ \omega = \nabla \times v となるとき，$ \omega は湧き出しなしである．
逆に，$ \omega が湧き出しなしのとき，$ \omega = \nabla \times v となる$ v が存在する(証明略)．
$ v を$ \omega のベクトルポテンシャルという．
ある領域内で，任意の曲面$ S 上の面積分
code:tex
\iint_S \omega \cdot d{\boldsymbol s} ,
が$ S に関係なく，$ S の境界 $ C だけで決まるならば，$ \omega は湧き出しなしである(証明略)．
湧き出しなしのベクトル場$ \omega について，任意の曲面$ S 上の面積分は
code:tex
\iint_S \omega \cdot d {\boldsymbol s} = \iint_S ( \nabla \times v ) \cdot d {\boldsymbol s} = \int_{\partial S} v \cdot dr ~~ (\because ストークスの定理) .
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ヘルムホルツの定理
TODO
参考文献
田代 嘉宏：テンソル解析 基礎数学選書 23，裳華房，1981.
東京大学工学教程編纂委員会，大岩 顕，奥薗 透，松野 俊一，岡 隆史，有田 亮太郎：東京大学工学教程 基礎系 数学 ベクトル解析，丸善出版，2016.