ベクトル場とスカラー場の面積分

本稿では有向曲面での面積分について議論する．

以下，特異点がないものとする

面積素 $ ds \approx \left| r_u \times r_v \right| du dv

ベクトル面積素 $ d{\boldsymbol s} \approx \left( r_u \times r_v \right) du dv

曲面の面積：

code:tex

\iint_S ds = \iint_D \left| r_u \times r_v \right| dudv

曲面 $ S の各点で単位法線$ n が連続に取れるとき，$ S は有向曲面である．$ n が向いている方向から見える側を表とする．

$ S の境界となる曲線で，$ S の法線を上に，内部を左側に見て進む方向のものを$ S の境界$ \partial S とする．

法線を逆にとった曲面を逆向きの曲面 $ -S とする，境界は$ \partial(-S)=-\partial S である．

$ S が有界な領域 $ Vを囲んでいるような曲面を閉曲面という．

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$ f をスカラー場とする．

code:tex

\iint_{S} f ds = \iint_D f(r(u,v)) | r_u \times r_v | du dv

同じ向きの違う媒介変数を取る曲面，逆向きの曲面についても面積分は同じ

$ A をベクトル場とする．

code:tex

\begin{aligned}

\iint_S A \cdot d{\boldsymbol s}

& = \iint_S A \cdot {\boldsymbol n} ds \\

& = \iint_D A(r(u,v)) \cdot \frac{r_u \times r_v}{|r_u \times r_v |} | r_u \times r_v | du dv \\

& = \iint_D A(r(u,v)) \cdot (r_u \times r_v) du dv .

\end{aligned}

同じ向きの曲面では面積分は同じ，逆向きの曲面では符号が反転する

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$ S:r(u,v) = \begin{pmatrix} x \\ y \\ f(x,y) \end{pmatrix} のような形式の曲面について，

code:tex

\begin{aligned}

r_x = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \frac{\partial f}{\partial x} \end{pmatrix} \\

r_y = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \frac{\partial f}{\partial y} \end{pmatrix}

\end{aligned}

なので

code:tex

\begin{aligned}

r_u \times r_v & = \begin{pmatrix}

- \frac{\partial f}{\partial x} \\

- \frac{\partial f}{\partial y} \\

\end{pmatrix} \\

| r_u \times r_v | & = \sqrt{ 1 + \frac{\partial f}{\partial x}^2 + \frac{\partial f}{\partial y}^2 }

\end{aligned}