三次元回転とその表現
ある点$ {\boldsymbol a}まわりの回転は，次のベクトルの変換で表現できる：
$ {\boldsymbol R} \left( {\boldsymbol x} - {\boldsymbol a} \right) + {\boldsymbol a} = {\boldsymbol R} {\boldsymbol x} + {\boldsymbol b}，
ここで，$ {\boldsymbol R}はある直交行列．
直交行列による変換は内積を保つ．よって任意の2点間の距離は回転の前後で変化しない：
$ \begin{aligned} \left\| {\boldsymbol R} \left( {\boldsymbol x} - {\boldsymbol a} \right) - {\boldsymbol R} \left( {\boldsymbol y} - {\boldsymbol a} \right) \right\| = \left\| {\boldsymbol R} \left( {\boldsymbol x} - {\boldsymbol y} \right) \right\| = \left\| {\boldsymbol x} - {\boldsymbol y} \right\| \end{aligned}
4つのベクトル$ {\boldsymbol x}, {\boldsymbol y}, {\boldsymbol z}, {\boldsymbol w}について，$ {\boldsymbol w}からの相対位置ベクトルのスカラー三重積は，
$ \begin{aligned} \left({\boldsymbol R} \left( {\boldsymbol x } - {\boldsymbol w} \right) \times {\boldsymbol R} \left( {\boldsymbol y } - {\boldsymbol w} \right) \right) \cdot {\boldsymbol R} \left( {\boldsymbol z } - {\boldsymbol w} \right) = \det {\boldsymbol R} \left(\left( {\boldsymbol x } - {\boldsymbol w} \right) \times \left( {\boldsymbol y } - {\boldsymbol w} \right) \right) \cdot \left( {\boldsymbol z } - {\boldsymbol w} \right) , \end{aligned}
$ \det{\boldsymbol R} = 1のとき回転は向きを保存し．逆に$ \det{\boldsymbol R} = -1のときに向きを反転させる．
通常は原点まわりの回転（つまり$ {\boldsymbol a} = {\boldsymbol 0}）を回転といい．回転と並進運動を組み合わせたものは剛体変換やユークリッド変換と呼ばれる．
$ \det {\boldsymbol R} = 1を満たす直交行列全体の集合：
三次元の特殊直交群（Special Orthogonal Group）
$ {\rm SO}(3) = \left\{ {\boldsymbol R} \in {\mathbb R}^{3 \times 3} | {\boldsymbol R}^\top = {\boldsymbol R}^{-1}, \det {\boldsymbol R} = 1 \right\}
特記のない限り，原点周りの$ \det {\boldsymbol R}=1の回転に限定して議論する．
TODO：逆に，長さと向きを保つ変換は直交行列で表現できるか？
回転の表現：
オイラー角
回転ベクトルから四元数・回転行列への変換は Exponential map で表せる：