クォータニオンの指数対数(exp, log)写像
ある回転軸$ {\boldsymbol n}まわりの回転角$ \thetaの回転を表す単位四元数は$ {\boldsymbol q} = \cos \frac{\theta}{2} + \sin \frac{\theta}{2} ~ {\boldsymbol n}，これの$ \thetaによる偏微分は
$ \begin{aligned} \frac{\partial {\boldsymbol q}}{\partial \theta} & = - \frac{1}{2} \sin \frac{\theta}{2} + \frac{1}{2} \cos \frac{\theta}{2} ~ {\boldsymbol n} \\ & = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 \\ {\boldsymbol n} \end{pmatrix} {\boldsymbol q} , \end{aligned}
となる（単純な計算なので導出略）．行列の場合（see: 回転行列の指数対数(exp, log)写像）と同じようにテイラー展開すると，$ {\boldsymbol q}\left( {\boldsymbol n} , \theta \right) = {\boldsymbol q}として， $ \begin{aligned} {\boldsymbol q}\left( {\boldsymbol n}, \theta + \theta' \right) & = \begin{pmatrix} 1 \\ {\boldsymbol 0} \end{pmatrix} {\boldsymbol q} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 \\ {\boldsymbol n} \end{pmatrix} \theta {\boldsymbol q} + \left(\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 \\ {\boldsymbol n} \end{pmatrix} \right)^{2} \frac{\theta^2}{2!} {\boldsymbol q} + \cdots \\ & = \sum^{\infty}_{k=0} \left( \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 \\ {\boldsymbol n} \end{pmatrix} \right)^k \frac{ \theta^k}{k!} {\boldsymbol q} \\ & = e^{ \frac{\theta}{2} \begin{pmatrix} 0 \\ {\boldsymbol n} \end{pmatrix} } {\boldsymbol q} , \end{aligned}
となる，マクローリン展開は，
$ \begin{aligned} {\boldsymbol q} & = \begin{pmatrix} 1 \\ {\boldsymbol 0} \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 \\ {\boldsymbol n} \end{pmatrix} \theta + \left(\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 \\ {\boldsymbol n} \end{pmatrix} \right)^{2} \frac{\theta^2}{2!} + \cdots \\ & = \sum^{\infty}_{k=0} \left( \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 \\ {\boldsymbol n} \end{pmatrix} \right)^k \frac{ \theta^k}{k!} \\ & = e^{ \frac{\theta}{2} \begin{pmatrix} 0 \\ {\boldsymbol n} \end{pmatrix} } . \end{aligned}
回転ベクトル$ {\boldsymbol \omega} = \theta ~ {\boldsymbol n}を用いると，
$ \begin{aligned} {\boldsymbol q} & = \begin{pmatrix} 1 \\ {\boldsymbol 0} \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 \\ {\boldsymbol \omega} \end{pmatrix} + \left(\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 \\ {\boldsymbol \omega} \end{pmatrix} \right)^{2} \frac{1}{2!} + \cdots \\ & = \sum^{\infty}_{k=0} \left(\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 \\ {\boldsymbol \omega} \end{pmatrix} \right)^k \frac{1}{k!} \\ & = e^{\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 \\ {\boldsymbol \omega} \end{pmatrix} } , \end{aligned}
と表現できる．
指数関数 exp に回転ベクトル $ \omega を与えると，その回転を表すクォータニオン $ q を得ることができた．
回転行列の場合と同じく，実数の指数対数と違う点として次に注意：
$ e^{{\boldsymbol \omega}_1 + {\boldsymbol \omega}_2} \neq e^{{\boldsymbol \omega}_1} e^{ {\boldsymbol \omega}_2}
四元数の積が可換でないから，あるいは回転ベクトルの足し算と回転の合成は異なるから，と説明できる．
任意のベクトル $ \omega と単位四元数$ {\boldsymbol p}について
$ \begin{pmatrix} 0 \\ \omega \end{pmatrix} = {\boldsymbol p}^{-1} \begin{pmatrix} 0 \\ {\boldsymbol p} \omega {\boldsymbol p}^{-1} \end{pmatrix} {\boldsymbol p}
が成り立ち（単純な計算なので導出略），
$ {\boldsymbol q} = e^{\frac{1}{2} {\boldsymbol \omega}} = \sum^{\infty}_{k=0} \frac{1}{k!} \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{2} {\boldsymbol \omega} \end{pmatrix}^k = \sum^{\infty}_{k=0} \frac{1}{k!} \left( {\boldsymbol p}^{-1} \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{2} {\boldsymbol p} {\boldsymbol \omega} {\boldsymbol p}^{-1} \end{pmatrix} {\boldsymbol p} \right)^k = {\boldsymbol p}^{-1} \sum^{\infty}_{k=0} \frac{1}{k!} \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{2} {\boldsymbol p} {\boldsymbol \omega} {\boldsymbol p}^{-1} \end{pmatrix}^k {\boldsymbol p} = {\boldsymbol p}^{-1} e^{\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 \\ {\boldsymbol p} {\boldsymbol \omega} {\boldsymbol p}^{-1} \end{pmatrix} } {\boldsymbol p}
となる．
指数写像の逆演算，つまり対数写像$ \log：
単位四元数$ {\boldsymbol q} = s + {\boldsymbol v} = \cos \frac{\theta}{2} + \sin \frac{\theta}{2} ~ {\boldsymbol n} = \cos \frac{\|{\boldsymbol \omega}\|}{2} + \sin \frac{\|{\boldsymbol \omega} \|}{2} ~ \frac{{\boldsymbol \omega}}{\left\| {\boldsymbol \omega} \right\|}から回転ベクトルを取り出す演算として，
$ \begin{aligned} {\rm log} \left( {\boldsymbol q} \right) & := \frac{ \cos^{-1} (s) }{ \| {\boldsymbol v} \|} {\boldsymbol v} \\ & = \frac{\frac{\theta}{2}}{\sin \frac{\theta}{2}} {\boldsymbol v} \\ & = \frac{\theta}{2} {\boldsymbol n} \\ & = \frac{1}{2} {\boldsymbol \omega} \end{aligned}
と定義される（実際には下の式から上に変形していくが，最後が $ \frac{1}{2} \omega の方が趣旨に合ってるのでそうした）．
この計算は回転角度が小さいときに不安定になる．
単位四元数$ {\boldsymbol q} = e^{ \frac{1}{2}\omega}, {\boldsymbol p}に対して，
$ \log \left( {\boldsymbol p} {\boldsymbol q} {\boldsymbol p}^{-1} \right) = \frac{1}{2} {\boldsymbol p} \log ( {\boldsymbol q} ) {\boldsymbol p}^{-1}
が成り立つ（$ {\boldsymbol q} = {\boldsymbol p}^{-1} e^{\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 \\ {\boldsymbol p} \omega {\boldsymbol p}^{-1} \end{pmatrix} } {\boldsymbol p} の両辺に $ \boldsymbol{p}, \boldsymbol{p}^{-1} を掛けたものを対数写像に適用すれば得られる）．
単位四元数を底とする指数関数は，$ tを実数として
$ {\boldsymbol q}^t := e^{t \log {\boldsymbol q}} = \cos \frac{t \theta}{2} + \sin \frac{t \theta }{2} {\boldsymbol n}
と定義される．これは回転角を$ t倍して得られる回転を表す．
実数$ t,sに対して，
$ {\boldsymbol q}^t {\boldsymbol q}^s = {\boldsymbol q}^{t+s}．これは回転角を$ t,s倍した回転を合成したもの．
また，$ \left( {\boldsymbol q}^t \right)^s = {\boldsymbol q}^{ts}．これは回転角を$ t倍してから$ s倍したもの．
単位四元数$ {\boldsymbol q} = \cos \frac{\theta}{2} + \sin \frac{\theta}{2} {\boldsymbol n} = e^{\frac{1}{2} \omega}, {\boldsymbol p}に対して，
$ \begin{aligned} {\boldsymbol p} {\boldsymbol q}^t {\boldsymbol p}^{-1} & = {\boldsymbol p} \begin{pmatrix} \cos \frac{t \theta}{2} \\ \sin \frac{t \theta}{2} {\boldsymbol n} \end{pmatrix} {\boldsymbol p}^{-1} \\ & = \begin{pmatrix} \cos \frac{t \theta}{2} \\ \sin \frac{t \theta}{2} {\boldsymbol p} {\boldsymbol n} {\boldsymbol p}^{-1} \end{pmatrix} \\ & = e^{ \left( \frac{t \theta}{2} {\boldsymbol p} {\boldsymbol n} {\boldsymbol p}^{-1} \right)} \\ & = e^{ \left( \frac{t}{2} {\boldsymbol p} \omega {\boldsymbol p}^{-1} \right)} \\ & = \left( e^{ \left( \frac{1}{2} {\boldsymbol p} \omega {\boldsymbol p}^{-1} \right)} \right)^t \\ & = \left( {\boldsymbol p} {\boldsymbol q} {\boldsymbol p}^{-1} \right)^t \end{aligned}
つまり，座標変換の前後で回転角度を$ t倍した場合で得られる結果は同じ
( 最後の変形は上のほうに書いた性質を使う）
これを用いて，
$ \begin{aligned} \left( {\boldsymbol q} {\boldsymbol p}^{-1} \right)^t {\boldsymbol p} & = {\boldsymbol p} {\boldsymbol p}^{-1} \left( {\boldsymbol q} {\boldsymbol p}^{-1} \right)^t {\boldsymbol p} \\ & = {\boldsymbol p} \left( {\boldsymbol p}^{-1} {\boldsymbol q} {\boldsymbol p}^{-1} {\boldsymbol p} \right)^t \\ & = {\boldsymbol p} \left( {\boldsymbol p}^{-1} {\boldsymbol q} \right)^t \end{aligned}
$ \begin{aligned} \left( {\boldsymbol p} {\boldsymbol q}^{-1} \right)^{1 - t} {\boldsymbol q} & = \left( {\boldsymbol p} {\boldsymbol q}^{-1} \right) \left( {\boldsymbol p} {\boldsymbol q}^{-1} \right)^{-t} {\boldsymbol q} \\ & = \left( {\boldsymbol p} {\boldsymbol q}^{-1} \right) \left( \left( {\boldsymbol p} {\boldsymbol q}^{-1} \right)^{-1} \right)^t {\boldsymbol q} \\ & = {\boldsymbol p} {\boldsymbol q}^{-1} \left( {\boldsymbol q} {\boldsymbol p}^{-1} \right)^t {\boldsymbol q} \\ & = {\boldsymbol p} \left( {\boldsymbol q}^{-1} {\boldsymbol q} {\boldsymbol p}^{-1} {\boldsymbol q} \right)^t \\ & = {\boldsymbol p} \left( {\boldsymbol p}^{-1} {\boldsymbol q} \right)^t \end{aligned}
が導ける．
一般の四元数に対しては
$ \begin{aligned} e^{\alpha + \frac{1}{2} {\boldsymbol\omega}} & = e^{\alpha} e^{\frac{1}{2} {\boldsymbol \omega}} , \\ \log\left( \| {\boldsymbol q} \| \frac{{\boldsymbol q}}{\| {\boldsymbol q} \|} \right) & = \log \left( \| {\boldsymbol q} \| \right) + \log \left( \frac{ {\boldsymbol q}}{\left\| {\boldsymbol q} \right\|} \right) = \log \left( \left\| {\boldsymbol q} \right\| \right) + \frac{1}{2} \omega \end{aligned}
と拡張できる．またこれの$ -1倍は
$ - \log \left( {\boldsymbol q} \right) = - \log \left( \left\| {\boldsymbol q} \right\| \right) - \frac{1}{2} \omega = \log \left( \frac{1}{\left\| {\boldsymbol q} \right\| } \right) + \log \left( \frac{ \bar{\boldsymbol q}}{\left\| {\boldsymbol q} \right\|} \right) = \log \left( \frac{\bar{\boldsymbol q}}{\left\| {\boldsymbol q} \right\|^2} \right) = \log \left( {\boldsymbol q}^{-1} \right)．