四元数(クォータニオン)
以下の乗法の規則に従う虚数単位$ i,j,k：
$ \begin{aligned} & i^2 = j^2 = k^2 = -1 , \\ & ij = k, jk = i, ki = j , \\ & ji = -k, kj = -1, ik = -j \end{aligned}
四元数（Quaternion）は$ i,j,kと実数$ q_0, q_1, q_2, q_3を用いて
$ {\boldsymbol q} = q_0 + q_1 i + q_2 j + q_3 k
と表される．成分表示として$ \left( q_0, q_1, q_2 , q_3 \right)^\topとも書く．
($ {\boldsymbol q} = q_x i + q_y j + q_z k + q_wとして成分表示$ \left(q_x, q_y, q_z , q_w\right)^\topもよく使われる，成分の順番が異なるので注意)
実数部分$ q_0をスカラー部分，虚数部分$ q_1 i + q_2 j + q_3 kをベクトル部分と呼ぶ．
四元数はスカラー$ sと三次元ベクトル$ {\boldsymbol v}の和として，$ {\boldsymbol q} = s + \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}とも表現される．
$ {\boldsymbol q}_0 = s_0 + {\boldsymbol v}_0，$ {\boldsymbol q}_1 = s_1 + {\boldsymbol v}_1として，
四元数の和と積は，
$ {\boldsymbol q}_0 + {\boldsymbol q}_1 = s_0 + s_1 + {\boldsymbol v}_0 + {\boldsymbol v}_1
$ {\boldsymbol q}_0 {\boldsymbol q}_1 = s_0 s_1 - {\boldsymbol v}_0 \cdot {\boldsymbol v}_1 + s_0 {\boldsymbol v}_1 + s_1 {\boldsymbol v}_0 + {\boldsymbol v}_0 \times {\boldsymbol v}_1
となる（導出は省略）．
四元数$ {\boldsymbol q} = s + {\boldsymbol v}の共役四元数（conjugate quaternion）はベクトル部分を$ - 1倍させた$ \bar{\boldsymbol q} = s - {\boldsymbol v}として定義される．
四元数の積の共役について
$ \begin{aligned} \overline{\left( {\boldsymbol q}_0 {\boldsymbol q}_1 \right)} & = s_0 s_1 - {\boldsymbol v}_0 \cdot {\boldsymbol v}_1 - s_0 {\boldsymbol v}_1 - s_1 {\boldsymbol v}_0 - {\boldsymbol v}_0 \times {\boldsymbol v}_1 \\ & = s_1 s_0 - ( - {\boldsymbol v}_1) \cdot (-{\boldsymbol v}_0) + s_1(- {\boldsymbol v}_0) + s_0 (-{\boldsymbol v}_1) + (-{\boldsymbol v}_1)\times(-{\boldsymbol v}_0) \\ & = \bar{\boldsymbol q}_1 \bar{\boldsymbol q}_0 , \end{aligned}
が成り立つ．
また，
$ \begin{aligned} {\boldsymbol q}_0 \bar{\boldsymbol q}_1 & = s_0 s_1 + {\boldsymbol v}_0 \cdot {\boldsymbol v}_1 - s_0 {\boldsymbol v}_1 + s_1 {\boldsymbol v}_0 - {\boldsymbol v}_0 \times {\boldsymbol v}_1 , \\ \bar{\boldsymbol q}_1 {\boldsymbol q}_0 & = s_1 s_0 + {\boldsymbol v}_1 \cdot {\boldsymbol v}_0 - s_1 {\boldsymbol v}_0 + s_0 {\boldsymbol v}_1 - {\boldsymbol v}_1 \times {\boldsymbol v}_0 , \end{aligned}
より，
$ \frac{{\boldsymbol q}_0 \bar{\boldsymbol q}_1 + \bar{\boldsymbol q}_1 {\boldsymbol q}_0 }{2} = s_0 s_1 + {\boldsymbol v}_0 \cdot {\boldsymbol v}_1 .
これを四元数の内積$ {\boldsymbol q}_0 \cdot {\boldsymbol q}_1として定義する．
あるいは$ {\boldsymbol q}_0 \overline{\boldsymbol q}_1か$ \overline{\boldsymbol q}_0 {\boldsymbol q}_1のスカラー部分を取り出す演算としてもよい．
四元数とそれ自身の共役の積は$ {\boldsymbol q} \overline{\boldsymbol q} = \overline{\boldsymbol q} {\boldsymbol q} = s^2 + \left\| {\boldsymbol v} \right\|^2となる．
つまり，四元数の内積から誘導される四元数のノルムは
$ \left\| {\boldsymbol q} \right\| = {\boldsymbol q} \cdot {\boldsymbol q} = \sqrt{{\boldsymbol q} \bar{\boldsymbol q}} = \sqrt{\bar{\boldsymbol q} {\boldsymbol q}} = \sqrt{ s^2 + \left\| {\boldsymbol v} \right\|^2} = \sqrt{ q^2_0 + q^2_1 + q^2_2 + q^2_3} ,
となる．
四元数の逆数は
$ {\boldsymbol q}^{-1} = \frac{\bar{\boldsymbol q}}{ \left\| {\boldsymbol q} \right\|^2} ,
と定義され，$ {\boldsymbol q} {\boldsymbol q}^{-1} = {\boldsymbol q}^{-1} {\boldsymbol q} = 1 + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}となる．
参考文献
F. Sebastin Grassia. 1998. Practical parameterization of rotations using the exponential map. J. Graph. Tools 3, 3 (1 March 1998), 29–48.
Sola, Joan. “Quaternion kinematics for the error-state Kalman filter.” arXiv preprint arXiv:1711.02508 (2017).
Dam, E. B., Koch, M., and Lillholm, M. (1998). Quaternions, interpolation and animation. Technical report, Department of Computer Science, University of Copenhagen, Denmark.
金谷 健一：三次元回転 パラメータ計算とリー代数による最適化，共立出版，2019.
田代 嘉宏：テンソル解析 基礎数学選書 23，裳華房，1981.