オイラーの回転定理の導出
三次元回転は回転軸と角度の組で表現できる．
オイラーの回転定理 ：
任意の回転はある軸周りの回転として表される．
まず，任意の回転について，$ {\boldsymbol R}{\boldsymbol n} = {\boldsymbol n}を満たすベクトル$ {\boldsymbol n}が存在することを示す．
このような$ {\boldsymbol n}の作る直線は原点を通り，その上の点は回転によって変化しない．
この直線を回転軸（rotation axis）と呼ぶ．
Proof
$ {\boldsymbol R} = {\boldsymbol U} \begin{pmatrix} \lambda_0 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_2 \\ \end{pmatrix} {\boldsymbol U}^\ast
$ {\boldsymbol U} はユニタリ行列，$ \lambda_i \in {\mathbb C} は固有値で$ | \lambda_i | = 1 を満たす．
また，固有方程式$ \det \left( {\boldsymbol R} - \lambda {\boldsymbol I} \right) = 0 は実係数多項式なので，ある複素数が根のときその共役複素数も根である．
複素数を固有値に持つとき，固有値は 実数$ \lambda_0と複素数$ \lambda_1 とその共役 $ \bar{\lambda_1} である．
これと行列式 $ \det {\boldsymbol R} = \lambda_0 \lambda_1 \bar{\lambda_1} = 1 より $ \lambda_0 = 1 ．
複素数の固有値を持たないとき，固有値は$ \lambda_i = \pm 1で，$ \det {\boldsymbol R} = 1より，組み合わせは$ (1,1,1),(1,-1,-1)のいずれかである．
つまり固有値としてかならず $ 1 を持ち，これに対応する固有ベクトル$ {\boldsymbol n}について$ {\boldsymbol R} {\boldsymbol n} = {\boldsymbol n}が成り立つ．
$ \Box
通常，回転軸を表すベクトルは正規化されたものを指す．
以下，$ \| {\boldsymbol n} \| = 1 とする．
次に、任意の回転が回転軸 $ {\boldsymbol n}をに垂直な面上での二次元回転であることを示す：
回転軸を$ {\boldsymbol n}と置き，正規直交基底$ \left\{ {\boldsymbol n}, {\boldsymbol e}_1, {\boldsymbol e}_2 \right\}を作る．
回転は内積と向きを保つので$ {\boldsymbol e}'_1 = {\boldsymbol R} {\boldsymbol e}_1，$ {\boldsymbol e}'_2 = {\boldsymbol R} {\boldsymbol e}_2として，$ \left\{ {\boldsymbol n}, {\boldsymbol e}'_1, {\boldsymbol e}'_2 \right\}は同じ向きの正規直交基底になる．
$ {\boldsymbol R}' = \begin{pmatrix} {\boldsymbol e}_1 \cdot {\boldsymbol e}'_1 & {\boldsymbol e}_1 \cdot {\boldsymbol e}'_2 \\ {\boldsymbol e}_2 \cdot {\boldsymbol e}'_1 & {\boldsymbol e}_2 \cdot {\boldsymbol e}'_2 , \end{pmatrix}
とすると，$ {\boldsymbol R}' は二次元の直交行列で，これを用いて
$ \begin{aligned} {\boldsymbol R} & = {\boldsymbol n} {\boldsymbol n}^\top + {\boldsymbol e}'_1 {\boldsymbol e}^\top_1 + {\boldsymbol e}'_2 {\boldsymbol e}^\top_2 \\ & = \begin{pmatrix} {\boldsymbol n} & {\boldsymbol e}'_1 & {\boldsymbol e}'_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {\boldsymbol n}^\top \\ {\boldsymbol e}^\top_1 \\ {\boldsymbol e}^\top_2 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} {\boldsymbol n} & {\boldsymbol e}_1 & {\boldsymbol e}_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {\boldsymbol n}^\top \\ {\boldsymbol e}^\top_1 \\ {\boldsymbol e}^\top_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {\boldsymbol n} & {\boldsymbol e}'_1 & {\boldsymbol e}'_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {\boldsymbol n}^\top \\ {\boldsymbol e}^\top_1 \\ {\boldsymbol e}^\top_2 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} {\boldsymbol n} & {\boldsymbol e}_1 & {\boldsymbol e}_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & {\boldsymbol R}' \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {\boldsymbol n}^\top \\ {\boldsymbol e}^\top_1 \\ {\boldsymbol e}^\top_2 \end{pmatrix} \end{aligned}
と表せる．
$ \det{\boldsymbol R}' = \det {\boldsymbol R} = 1より$ {\boldsymbol R}' = \begin{pmatrix} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}となる $ \theta が存在する。
よって、$ {\boldsymbol R}は回転軸$ {\boldsymbol n} に垂直な面上で$ {\boldsymbol n}の指す方向から見て半時計回りに$ \theta回転させる変換である．