ユニタリ行列（直交行列）は正規行列

$ A^* A = A A^* = I より，正規行列の条件を満たす．

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正規行列 A の全ての固有値の絶対値が 1 $ \Leftrightarrow A はユニタリ行列

Proof

$ \Leftarrow

$ Ax = \lambda x 左から $ A^* を掛ける

$ x = \lambda A^* x

$ x は $ A^* の固有ベクトルでもあり，その固有値は $ \bar{\lambda} なので，

$ A^* x = \bar{\lambda}

よって，$ \bar{\lambda} = \frac{1}{\lambda} ， $ | \lambda | = 1

$ \Rightarrow

A は正規行列なのでユニタリ行列 U を用いて，

code:tex

A = U^* \Lambda U = \begin{pmatrix} u_1, \ldots u_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda_1 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u^*_1 \\ \vdots \\ u^*_n \end{pmatrix}

として対角化でき，

code:tex

A^* A = U^* \Lambda^* \Lambda U = U^* \begin{pmatrix} | \lambda_1 |^2 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & | \lambda_n |^2 \end{pmatrix} U = U^* U = I \quad \because | \lambda_i |^2 = 1

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$ ( A x )^* A y = x^* A^* A y = x^* y

つまりユニタリ行列による変換は，その前後でベクトルの内積を保つ．