SNNN数
Definition (informal)
3の後に7が$ n個並んでいる数を$ n番目のSNNN数という.
Definition (formal)
$ f\colon \mathbb{N}\ni x\mapsto 10x + 7\in\mathbb{N}. $ S(n) := f^n(3). $ \forall x\in\mathbb{N}. $ xがSNNN数 :⇔ $ x \in \operatorname{Im}(S).
一般項同士の一致からも推移的に示される
計算用コード片
code:snnn.gp
Sn(nn) = {(34 * 10^nn - 7) / 9}
SnMod(nn, mod) = {(34 * Mod(10, mod)^nn - 7) / 9}
SnModLift(nn, mod) = {((34 * lift(Mod(10, mod)^nn) - 7) / 9) % mod}
code: snnn.sage
def Sn(nn):
return (34 * 10**nn - 7) / 9
def SnMod(nn, mod): # S_n % mod
return (34 * Mod(10, mod)^nn - 7) / 9
def SnModLift(nn, mod):
return (34 * pow(10, nn, mod) - 7) / 9 % mod
一般項
$ S(n) = (34\cdot 10^n - 7) / 9
n = 0の場合: $ (34 - 7) / 9 = 27 / 9 = 3
nで成立, n+1の場合:
$ \begin{aligned}f^{n+1}(3) &= f(f^n(3))\cr &= f((34\cdot 10^n - 7) / 9)\cr &= (34\cdot 10^{n+1} - 70)/9 + 63/9\cr &= (34\cdot 10^{n+1} - 7)/9\end{aligned}
$ S(n) = 3\cdot 10^n + 7R(n). ただし$ R(n)はRepunit informal definitionの直訳
Repunit部分を展開すると
$ \begin{aligned}S(n) &= 3\cdot 10^n + 7/9(10^n - 1)\cr &= 10^n (3 + 7/9) - 7/9\cr &= 10^n\cdot 34/9 - 7/9\cr &= (34\cdot 10^n - 7) / 9\end{aligned}
$ S(n) = 4\cdot 10^n - 20(10^{n-1} - 1)/9-3
$ S(n) = S(n - 1) + 34\cdot 10^n
母関数: $ (3 + 4x) / (10x^2 - 11x + 1)
code: snnn_gen.sage
x = PowerSeriesRing(QQ, 'x', default_prec=20).gen()
f = (3 + 4 * x) / (10 * x^2 - 11 * x + 1)
f.list()