SNNN数の形式的定義の妥当性
出典
Statement (formal)
$ \forall n\in\mathbb{N}. $ S(n) = 3\cdot 10^n + 7R(n). ただし$ R(n) = (10^n - 1) / 9.
Proof
$ n = 0の場合: $ f^0(3) = 3 = 3\cdot 10^0 + 7R(0)
$ nで成立を仮定, $ n+1の場合:
$ \begin{aligned} f^{n+1}(3) &= f(f^n(3))\cr &= f(3\cdot 10^n + 7R(n))\cr &= 3\cdot 10^{n+1} + 70R(n) + 7\cr &= 3\cdot 10^{n+1} + 7R(n+1)\end{aligned}
数学的帰納法により成立. $ \Box