Repunit
Definition (informal)
1の並びのみで構成される自然数をRepunitという.
Definition (formal)
$ x\in\mathbb{N}がRepunit :⇔ $ \exists n\in\mathbb{N}. $ x = (10^n - 1)/9.
Proof for formal ⇔ informal
$ R(n) := \sum_{i = 1}^{n} 10^{n-1}. 任意のRepunit $ xに対し$ \exists n\in\mathbb{N}.\ x = R(n).
$ \forall n\in\mathbb{N}. $ R(n + 1) = 10R(n) + 1であることに注意する.
$ n = 0のとき: $ (1 - 1) / 9 = 0
$ nで成立を仮定, $ n+1のとき:
$ \begin{aligned}(10^{n+1} - 1) / 9 &= (10(10^n - 1) + 9) / 9\cr &= 10(10^n - 1)/9 + 1\cr &= 10R(n) + 1\cr &= R(n+1)\end{aligned}
数学的帰納法により成立. $ \Box