常微分方程式

「数学1B」

1 定数係数1階線形微分方程式

1.1 変数分離形

両辺積分すれば良いだけ

1.2 同次形

y/xの形が出てきたらそう置換して、

y’ = u + xu’を利用する

1.3 線形微分方程式

y’の一次とyの一次がある式

また、yのゼロ次以下がない斉次線形微分方程式

yのゼロ次があるのが非斉次線形微分方程式

-斉次線形微分方程式

一般解は変数分離

線形性があるので、解の重ね合わせも解である

-非斉次線形微分方程式

q(x)があるので、変数分離できないので、斉次線形微分方程式の一般解 + 非斉次の特解

特解は予測するのが良い

もしくは定数変化法

もしくはexp(P(x))をかけて積分するのがある

1.4 ベルヌーイの微分方程式

y’ + p(x)y = q(x)y^n

という式

uに対する非斉次線形微分方程式に帰着できる？

u = y^(1-n)という置き換えがポイント

1.5 リッカチの微分方程式

y’ = p(x)y^2 + q(x)y + r(x)

ベルヌーイでn=2として、yの0次の項も加えたもの

(0)一般解を構成する一般的な手続きは知られていない

(1)特殊解y0を使った一般解の構成法は知られている、y0が既知だとすると、 y = y0 + 1/u とおく

すると、uについて非斉次線形微分方程式に帰着する

見つかるならこんな形やろと思っておいてやることが大切例えば y0 = x^nなど

(2)y0が見つからないときは、 y(x) = - 1/p(x) * u’/u でuについて2階微分方程式にする

1.6 完全微分形

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0で、∂p/∂y = ∂Q/∂xのもの

両方積分してやれば良い

完全微分形ではないが、積分因子をかけることで完全微分形になることがある

例えば、熱力学では、dS = δQ/Tでは、1/Tが積分因子であると言えよう

積分因子について

積分因子を求める一般論は偏微分方程式になってしまうので現実的ではない

(1)λ(x,y) = x^m*y^nと改訂して調査

(2)λ(x,y) = f(x) or g(y)のときもある

1.7 非正規形

正規形：y’ = f(x,y)でf(x,y)が滑らかな一価関数

非正規形：そうではないもの全て、特異解を持つ場合がある

例えば、(y’)^3 = 27y^2のときは、普通に累乗をとってしまうと、y=0の解がどうやっても表現できない

これは特異解であるからである

特異解は一般的に崩落線で与えられる

・解の一意性

y’ = f(x)が滑らかな一価関数であるとき、ある点を通過する解は唯一である

非正規形のときは解が一意に決まるとは限らない

例として、クレーローの微分方程式がある

2 定数係数2階線形微分方程式

2.1 定数係数2階斉次線形微分方程式

これはyの二階微分の項があり、y^2のような項はない微分方程式のこと

一般解は２つの基本解の線形結合で表される

ただし、重解のときは注意が必要である

これは線形代数の基底に相当する

2.2 定数係数2階非斉次線形微分方程式

y’’ + p0y’ + q0y = r(x)

定数変化法というものがある

そこでロンスキアンが出てくる

3 連立1階微分方程式

行列の形で表せるようなもの

3.1 定数係数連立1階

これは工夫して、行列の形に表すことで、実は二階定数係数線形微分方程式と同じであることがわかる

線形代数の知識を利用して、対角化して解くことができる

行列の指数関数表示を使うという方法もある

対角化できない場合は、ジョルダン標準形を使う

微分は線型写像なので、行列で表すのが自然である

3.2 非斉次連立1階微分方程式

変数変換して、定数係数のように解くことができる

3.3 変数係数連立1階微分方程式と解の安定性

大雑把に解を求めて、その安定性を見るという方針でいく

（のちにTaylorの定理などで、その正当性を保証できる？）

-解析の手順

(1)平衡点を求める

(2)平衡点周りで線形化

(3)平衡点付近で解曲線を描く

4 変数係数2階線形

4.1 定数係数と共通なこと

4.2 正則点まわりの級数解

4.3 確定特異点まわりの級数解

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「常微分方程式(Collatz)」

・グロンウォール不等式

リプシッツ条件は、微分方程式を考える上ではある種の解の存在を担保するもの

また、WeirestrassのMテストも解の存在を保証する

グロンウォール不等式は解の一意性を担保する１つの主張である

・WeierstarssのMテスト

証明はほとんど明らか

一様収束という条件はかなり強いので一様収束しているものは世の中少ない

一般には少し緩めて広義一様収束を定義することがある

fnというものを段階的に欲しい微分方程式の解に近づけていく

全部含めたトータルの近似値というものを作り、それが関数になっているか、滑らかかなどを調べる

とりあえず関数になっていることを議論するためにmテストがある

・解の比較定理

Lipschit条件を満たすものはD1上で微分方程式の局所解の存在と一意性を得る

これはとりあえず局所での解が存在するということしか言っておらず、解を延長できるかもしれない

それについて議論していく

微分可能性を見るときに、合成関数でかける形に分解していくのはよくある

解の比較定理は、FとGの大小を、微分方程式の解が引き継ぐという主張

Fはよくわからないが、Gは一次元なのでよくわかる

よくわからないもののオーダーが評価できることが嬉しい

・局所解の存在と一意性

どういう状況設定に対して、どのような解が存在するかということを議論する

微分方程式を解くときには必ずと言っていいほど積分を使うので、初期値が必要

閉区間の長さがどのくらいなのかはわからない

証明はピカールの逐次近似定理と呼ばれる

関数列を作ってどんどん解に近づけていく

微分方程式の解というと、C1級でないと意味がない

C1級だからこそ解の存在が限られてしまうとも言える

広い世界での微分を考えて、それをC1級に狭めるというときに弱微分やソポレフ微分というものがある

超関数の空間がソボレフ空間と呼ばれるもの

どんな微分方程式を解きたいかによって空間も変わる

・線型常微分方程式の解の存在範囲

ここでは解析的な話をして、微分方程式の解の存在区間がどこまで伸びるかを考える

微分幾何で微分

・大域解の存在

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「常微分方程式の解法」

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「微分方程式入門 —高橋陽一郎」

第1章　序論

1 微分方程式とその解

一般に未知変数xのある階数までの導関数たちの間に与えられた関数関係をxに対する常微分方程式と呼び、未知関数がもとまればその解という

幾何学的に考えれば、自励的な微分方程式の解とは与えられた領域内にある微分可能な曲線で各点で与えられているベクトルfを接ベクトルとするもののことである

解をR^n内の曲線と考えるとき解曲線ということがある

(イ)局所解は存在するのか？

（ロ）解の定義域はどれだけ広げられるか？

（ハ）初期値問題の解は一意的に定まるか？

などという疑問が生じていくる

また、

（二）初期値に関する解の連続性や微分可能性

（ホ）右辺がさらにパラメータに依存するとき、解のパラメータに関する連続性や微分可能性などと

が気になる

（ヘ）解の具体的な表示は可能かどうか？

2 解の存在と一意性

（イ）について

局所解の存在定理というものがある

（ロ）について

延長不能解の存在定理というものがある

（ハ）について

コーシーの存在値一意性定理というものがある

リプシッツ条件という条件が必要

3 基本的な諸定理

（ホ）についての定理として、径数に関する解の連続性の定理がある

また、解の微分可能性、解の滑らかさにいて入りがある

（二）について

変数変換によって初期値に関する連続性、微分可能性、滑らかさは径数に関する諸定理に帰着される

以上で疑問への解答は終わったが、まだいくつかの素朴な疑問が残っている

その一つは差分方程式による方程式の近似の問題がある

また、解の解析性も重要な問題である

第2章 線型常微分方程式

1 線形性：重ね合わせの原理

線型方程式で最も著しい特性は重ね合わせの原理である

非斉次方程式の一般解はその特解と付随する斉次方程式の一般解の和であるというのがないようである

解を並べた行列の行列式をロンスキアンという

2 定数係数の場合：単独の高階線型方程式

この節と次節では前節の重ね合わせの原理を用いて、定数係数の場合に高階単独の線型方程式と正規型線型方程式系の解法と簡単な性質を述べる

3 定数係数の場合

行列の指数関数を用いる

4 変数係数の場合

この節では、斉次方程式の素解の構成法を述べ、後に、周期係数を持つ線型方程式について考察する

第3章 微分方程式の定める流れ

1 流れと微分方程式

2 線型方程式の定める流れ

3 流れの局所的な性質

4 平面上の流れ

第4章 基本定理の証明と補遺

A 基本諸定理の証明と差分近似法

B ジョルダンの標準形と漸近安定性

C 境界値問題とフーリエ級数展開

D 変分法：ノルム空間の上の関数の微分

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「微分方程式入門 -桂田祐史-」

1 微分方程式とは何か？

微分方程式は微分積分学とほぼ同じくらい長い歴史を持つ

昔や物理学由来の問題を解くために使われたが、今では化学、生物学、工学、医学、農学、経済学などいろいろな分野で広く応用されている

1.1 例

自由落下と単振動

1.2 基本的な用語

最高階の導関数について解かれたものは正規形という

微分方程式は例え解があってもそれが具体的な式で表せるとは限らない

微分方程式の解は普通は無数に存在する

微分方程式を解かないで、まず解の存在を確認してから直接解の性質を調べたりする方法が発達している

この講義では具体的な式変形で解が求まる場合のみを考察する

微分方程式に、解の満たすべき条件がいくつか加わっている問題を考えることが多い

これを初期値問題という

解曲線

図形的イメージも大切である

解のグラフを解曲線あるいは積分曲線と呼ぶ

2 変数分離形微分方程式

2.1 解き方

変数を寄せて積分、分母が0となる場合は吟味が必要

3 1階線型微分方程式、定数変化法

同次方程式と非同次方程式

3.1 同次方程式の解法

ただの変数分離系

3.2 非同次方程式の解法

定数変化法がある

これは線形同次微分方程式の一般解が得られているときに線形非同次微分方程式を解くために使える一般的な方法である

一般解がかける

4 定数分離形、1階線型に帰着できるもの

変数変換をすることで、既に見た微分方程式に帰着して解くことのできる問題がある

4.1 同次形方程式

4.2 ベルヌーイの方程式

4.3 リッカチの方程式

4.4 その他

5 定数係数2階線型常微分方程式(同次方程式)

5.1 定義と例

5.2 特性方程式、特性根

5.3 相異なる特性根を持つ場合

5.4 特性根が重根である場合

5.5 特性根が虚数である場合

指数関数は複素変数まで拡張でき、その定義にはいろいろな方法がある

5.6 まとめ

6 定数係数2階線形状微分方程式(非同次方程式と重ね合わせの原理)

6.1 重ね合わせの原理

6.2 特解を求めれば良い原理

6.3 簡単な特快の発見法(未定係数法)

7 定数係数2階線型常微分方程式(非同次方程式の特解の求め方)

一般のf(x)に対して非同次方程式の特解を求めるには、Laplace変換を利用する方法、定数変化法などいろいろあるが、ここでは初期値問題のGreen関数を用いる方法を紹介する

8 初期値問題の基礎理論

8.1 はじめに

常微分方程式は、問題の解を既知の関数で表すことができない場合がある

この困難を解決する１つの方法は、特定の問題の解を表現できるような新しい関数を導入することである

これは一定の成果をおさめたが、一方で解が存在すること自体を保証する方法が求められたのも当然であろう

8.2 解の存在



8.3 解の存在範囲



8.4 解の一意性







その他

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「ヨビノリ微分方程式」

1講 微分方程式とは

微分方程式は関数を求める

ある現象を理解するとき微分方程式は必然的にでてくる

現象→モデル化→微分方程式→解く→解

例

Nの微分方程式

マルサスの人工モデル

2講 変数分離形

微分形式を勉強すると、dx,dyの扱いになれる

置換積分みたいな

g(y) = 0のときだけのぞいた

だが、どこかで0になることもあるんじゃないか

結論としては問題ない

恒等てきにg(y) = 0となる関数しかg(y)が0になるyを踏まない

解の一意性からこれが導かれる

解が重なってしまうと解の一意性を満たさなくなる

リプシッツ連続ならば解の一意性を満たす

y=0を記述しなくても、任意定数に含まれていて問題にならないからである

3講 同次形

同次系の微分方程式は、元々x=0で定義されていないので、xで割ってもOK

cosu != 0のとき、この初期条件満たす解があるのか考える

実際はcosu=0の時、初期条件を満たさないので考慮しなくても良い

4講 一般線型微分方程式

特殊解が１つでも見つかればこの方法でOK

特殊解は一般解と似てるはず

次は定数変化法を説明する

定数分離法は、そのまま答えに代入しても良いし、特殊解だと思っても良い

もう１つ、積分因子という魔法みたいな方法を解説する

5講 ベルヌーイの微分方程式

非線型な微分方程式は一般的な方法はない

von bertalanffyモデル

魚の体重の時間変化のモデル

今までの微分方程式では、恒等的に0になるものを除いていたらよかったが、今回は0を通る解が存在してしまう

ベルヌーイの微分方程式の形で、w(0) = 0を考えると解の一意性が破綻する

マルサスの人工モデルを修正したモデル（ロジスティック方程式）はベルヌ〇医の微分方程式になっているので初期条件があればもう解ける

6講 完全微分方程式

どういうときにF(x,y)が存在するのか、という話をここからしていく

ここでは工学的な例としてポアソンの法則を扱う

めちゃくちゃうまい適当な関数を積分因子という

一般に見つける方法はない

7講 クレローの微分方程式

一般解の任意定数をどんなにいじっても現れないような解がでてくるので面白い

8講 二階線型同次微分方程式

線型方程式なので、重ね合わせの原理が成り立つ

２つの解y1, y2が一次独立であるとき、線形結合して一般解が求まる

二階線型微分方程式は得意解がないので、これで全ての解を表せる

線形代数で考えることもでき、そのイメージで言うと、y1とy2が一次独立なベクトルみたいな感じ

一般的な二階線型同次微分方程式の解を見つける方法はない

一般的に同次定係数の基本解を見つける方法はある

重解のときは定数変化法によって、expにxをかけたものの解になる

複素数でもそのままのせてOK

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「常微分方程式の解法」