微分形式

なんかの物理の授業で、Maxwell方程式が1つの式にまとめられてうおおおおってなった

「微分形式でGauss曲率を計算する」

1 微分形式

微分形式は多様体とセットで出てくるが、曲率を計算するだけなら座標が１枚あればできる

積分するときについてくるあいつ

0-formはただの関数のこと

1-formは全微分のようなもの

2-formはあとで説明する

3より多いときは全て0と考える

A^kはk-formということ

次数は足し算となる

掛け算という演算はdvとduの規則だけ決めて、あとは常識的な計算である

順番を入れ替えると±が入れ替わる

微分形式を微分することができ、座標によらない微分、外微分という

fが0-formなら全微分（1-form）

次数が１個ずつあがっていく

これだけが定義である

今日はこれを使って曲面の曲がり方を図るGauss曲率を求める

2 曲面の構造方程式

Gauss曲率は曲面の構造方程式に現れる

構造方程式は微分形式を使って書かれる

第一基本量は接ベクトルの長さを記述するための量である

第二基本料はこの曲面が空間の中にどのように入っているかを記述するための量である

接ベクトルが微小な場合を考える

そのときのものを第一基本形式と書く

曲面の接ベクトルの長さを記述している

三平方の定理が成り立つようにQ1とQ2をとってくると、構造方程式がかける

曲面を復元するときの１つのヒントとして構造方程式がある

3 トーラスのGauss曲率

計算するためにはまず座標表示しなければいけない

ここまでは機械的に計算するだけ

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「微分形式-Wikipedia-」

微分形式とは微分可能多様体上に定義される共変テンソル場である

微分形式によって多様体上の局所的な座標の取り方によらない関数の微分が表現され、また多様体の内在的な構造のみによる積分は微分形式に対して定義される

微分多様体上の微分形式は、共変テンソルツォてい座標変換性によってあるいは接ベクトル空間上の線型形式の連続的な分布として定式化される

また、代数幾何学・数論幾何学や非可換幾何学など様々な幾何学の分野でそれぞれこの類推として得られる微分形式の概念が定式化されている

概要

微分形式は、微分方程式を幾何学的に捉えようとする試みから生まれ、解析学や幾何学のいろいろな概念や公式を統一的な視点からまとめ、形式的な計算により多くの結果を得て多様体などの図形を調べるのにも強力な道具になって言った

n次元ユークリッド空間においてn変数関数を微分0形式といい、余接ベクトル場を微分1形式という

これは関数の全微分で現れる式と同じである

2次以上の微分形式は微分形式同士をテンソル積でかけ合わせることにより得られる

通常はテンソル積の一般的すぎる積の代わりに何らかの対称性を課した対称微分形式や交代微分形式が用いられる

いずれも座標の取り方によらない幾何学的な量を表すものであるが、区別するためにもこのテンソル積の記号はあまり用いられない

対象微分形式はリーマン計量などを表現するときによく使われる

交代微分形式の方はテンソル積の代わりに外積代数の積としての記号∧を用いて書かれる

交代微分形式は向きの与えられた幾何学的な量を表している

さらに交代微分形式の微分からド・ラーム・コホモロジーが得られ、解析的な計算によって多様体全体の形を調べることができる

定義

外微分

外積の計算

座標変換と積分

座標近傍による構成

多様体上の積分、閉形式と完全形式

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「数理手法Ⅴ」

第3講

今までは座標系に縛られて議論してきた

いろんな座標を考えるときにいちいち座標変換を考えなくてはいけない

全体の性格を見通すことも難しくなる

実はこれは必要ではない

宇宙論や流体力学では空間が歪んでいることが当たり前

統計量の空間だったりデータが作る空間だったりすると、データの流れを考えなくてはいけない

こういうときにxyz座標系ばっかりを考えなくてはいかないのかというとそういうわけではないだろう！

微分形式と多様体上の微積分

束縛された系や情報量の空間の上で微積分を考える

微分形式

２重積分の時は(x,y)を(φ,ψ)に変数変換することがある

ヤコビアンを使って変数変換ができる

ヤコビアンは三次元、四次元となると書き下すのがめんどくさい

形式論としてはこれは書き下す意味はなく、これを書き換えて統一的にしていく

そうすることでいろんなものに対して統一的な形が見えてくる

・外積、外微分

そんなに難しいことをやるわけじゃない

u∧v, dx∧dyという形式を導入する

これは約束事なので定義を知ってしまえば終わり

ベクトルの外積とアナロジーがある

(1) dx ∧ dx = 0

(2) dx ∧ dy = - dy ∧ dx

外積代数の定義はこれだけ

これは形式だけではなく、何度もやっていくと内容を伴ってくる

量子力学が発展したのは偏微分方程式が発展したから

また、行列があったから

0次外微分形式はスカラー量

数字のようなもの

1次外微分形式はdx, dy, du ,dv

通常のベクトルのようなもの

2次外微分形式　dx ∧ du

軸性ベクトル

外積では、ベクトルの方向を区別したそれと同じようなもの（右手系）

3次外微分形式　dx ∧ dy ∧ dz

体積

3つのベクトルから構成される量はこれで終わり

２次元空間なら、3-formもない

前が成分の大きさ、うしろが方向、に対応したものになる

・pベクトル空間

体というのは、0での除算を除いた四則演算が可能な集合

a,bは実数

α,βをn次元ベクトル空間と考える

こういう基底はいくつあるのか気になる

第4講

外積の定義をした

Aは線形変換

成分で書けば行列のようなもの

多重線形性を持つものは行列式でかける

いまはルールを知らないので下に添字をつけているが、一般的にはやってはいけない

よく知っている基底を自然基底という

例えば、結晶は常にxyz座標系で貼られていない

自然基底には1,2,3という添字を下につける

自然基底と同じ座標変換を受けるものは下につける

宇宙論などで、添字が上についたり下についたりしてるのはAは逆の変換を受けるから

この変換は逆行列の関係になっている

座標系をネジの方向に回転するのと、物質を逆に回転するのは同じこと

つまり変換規則が逆なのである

そういう変換規則の約束事が添字を上につけたり下につけたりする理由である

量子力学のブラベクトルとケットベクトルはこれと同じような感じ

内積は同じでなければいけないのでブラベクトルとケットベクトルは逆のような変換を受ける

2-formは3つから2つを選ぶ方法なので３つあるが3-formは3つから3つを選ぶ方法なので1つだけ

3-formはベクトルの三重せきみたいなものに対応していて体積になる

自然基底と逆の変換を受けるので、上に添字をつけている

共変ベクトルが、自然基底と同じ変換

反変ベクトルは逆の変換

2乗平均誤差はガウス分布と結びつきが強い

何が言いたいかというと、物事には全て歴史がある

・外微分

p-form　→ (p+1)-formを考える

作用素 dを考える

全微分と言っても良いし作用素と言っても良い

外微分の定義さえ覚えておけばdivやrotに関するめんどくさい式を覚えなくて良い

この規則を三次元ユークリッド空間で考えたらどうなるのかを考える

スカラー、勾配、回転、発散という順繰りに出てくる

ここでd(dω) = 0とは何かを考える

それ以外はわかる

d(df)

ここで、fが一回微分可能で連続であればこれが0になることがわかる

0-formに二回dをすると0になる

1-formに二回dをすると0になる

2-formに二回dをすると0になる

d(dω) = 0は、滑らかな関数の二階偏微分が微分の順序によらないことを意味する

一般にどういう風に内積の成分があっても良い

基底が直交している必要はない

だが、我々はそういうめんどいことは避けるために正規直交規定を定義しておく

相対論では、時間軸は-になるので、内積が1になるだけでなく、-1になることもある

正規直交基底であっても

iによって+1か-1か決まる

・ホッジ作用素

自分が与えられているときに、内積をとる相手をどうすれば良いかを考える

作用素は演算子や写像と同じようなもの

λとνを持ってくればベクトル空間が貼られる

λ∧μ : Λ^n R^nで一通りしかない

それをσ^nととかく

Aを決めることを考える

このβとは何かを考える

βはλによって定まるので *λとかく

この*は大した意味はない

fλ(μ) = (*λ, μ)とかく

直交座標系なら問題にならないが、斜交座標系を使うなら、元とは違う相手の空間のベクトルが一意的に定めているとういことがわかる

それが双対空間

λによってΛ^(n-k)R^nのベクトルが定まった

Λ^kR^nとΛ^(n-k)R^nは双対空間となる

Λ^kのベクトルを一つ定めると双対空間のベクトルが１つ定まるという規則を与えた空間を双対空間という

例としては、dx と dy∧dzなど

他の座標によって拘束されているところがある

第5講

内積の相手を決めてやろうっていうのがホッジ作用素であった

Λ^nつまりn次元ベクトル空間は基底が１つ

この基底はσ^nとかく

*演算がどうなるかこれでわかってほしい

簡単な例をやれば、なんだ！ってなるはず

これで辻褄が合う

2ベクトルの世界は3次元ベクトル空間なので、内積を取れるのは残り1ベクトルだが、それは*の空間

自分自身の空間ではない

残りの空間が双対空間として顔を出す

**λはどうなるか？

ベクトル空間の微分はベクトル解析になる

ベクトル解析のめんどくさい公式を解消してくれる

座標軸が曲がった多様体

多様体の中のベクトル解析をやったりするときに一般的に理解できる

これでやりたいと思ってたことを例を含めてやったことになる

今やっていることと、これまでのベクトルの外積と内積の対応をみてみる

今度は*をみてみる

ベクトルを外積になっている

*λ∧βがベクトルの内積となる

双対空間とは何かを、座標変換という立場で考える

これが一般の曲座標に対するラプラシアン

例えば、極座標に対するラプラシアンはめんどうだったが、今回は機械的にやるだけで求まる

他にもいろいろなメリットが出てくる

球面上の三角形の和は180度じゃないことは知っている

結局不変量が重要である

こういう保存料を考えるうえで対称性や座標変換が重要になってくる

係数を上に振っている意味は後で明らかになる

・座標変換

係数の成分と基底の成分の変換行列は逆になる

これは当たり前

基底の変換は下につけて、成分の変換は上につけている

下につけているのを共変ベクトル、上を反変という

第6講

ノート参照

双対空間についても具体的なことに触れてみる

微積分をやるとき、座標変換に関連してテンソルというものが出てくる

テンソルはいろんな定義の仕方がある

２つのベクトルに対する双線形性を持った量として定義をする

双線形性を満たす関数っていうのは乗数をべきにすれば一意的に決まってしまうことを知っており、それが行列である

故に別の定義も存在する

直積を表す

テンソルの座標変換というのは、双線形性を持った量の座標変換の性質である

テンソルは単純な行列ではなく、２つのベクトルの座標変換を反映したような変換則を持つ行列である

・多様体と接空間

一般的なベクトル空間の枠組みを用意する

あまり大したことではない

つまり共通部分は素直な性質を持っている

・接空間

微分演算子を基底と呼ぶのは異様かもしれない

なぜ基底と呼んでいるのかというと、どんなパラメータを与えてもその微分がそれの線型結合で与えられるからである

これの座標変換はどうなるのか？

0形式、1形式の話をしたのでp形式での変換もむずかしくはない

外微分も同じようにして議論できる

一般のテンソルの座標変換もここからすぐに導ける

接ベクトル空間の双対空間を考える

接ベクトル空間と余接ベクトル空間は内積を取れる関係にある

余接ベクトル空間のおかげで内積というものが考えられるようになった

接ベクトル空間と余接ベクトル空間からの直積を考える

多様体上のオイラーの関係式というのが目標である

第7講

今日は多様体上の曲線に沿った微分

多様体はその上での積分曲線族みたいなもので定義されている

流体力学の流れの場が設定されたときに関数の場がどうなるかということが重要になる

流体力学は非常に重要である

流れに沿って運動を考えるが、運動の座標をどう考えるか

オイラーの見方とラグランジュの見方がある

オイラーは空間に固定した座標

ラグランジュは流れに沿った座標をとる

ラグランジュの方が運動方程式が簡単だが、座標が固定されないので変なことが起きがち

量子力学でも、原子に沿って運動量を考えるということを考える

こういうときは常に座標変換を考えなくてはいけない

Xの積分曲線は何になるのか

実はこのXは角運動量のところで出てきている

座標での微分は、量子力学でいう運動量の演算子

これは円運動に対応するようなものになる

・積分曲線に沿った微分(Lie微分)

いろいろなベクトル場を考えるときにこういう微分はバンバン出てくる

開集合も動いている

曲線に沿ってベクトルが動いてるとしたら、戻して比較しなければならない

スカラーの場合

それでは、ベクトル場の場合はどうなるのか？

つまり交換子になっている

角運動量の交換関係はこういうところから出てくる

流体力学の渦や電磁気学の電流周りの磁場のもっているLie微分はこういう構造をもっている

この話は早すぎる

だいたいベクトル解析はこんな感じで統一的に扱えると思っておけば良い

次は1形式を考える

次は、積分曲線に沿った積分を考える

むしろ多様体上の積分の方がよく出てくる

今までストークスの定理やガウスの定理をやってきたが

ストークスの定理は１次元だと定積分のようなもの

多面体に関するオイラーの定理も多様体上の積分という枠組みという中で議論をすることになる

群論を学ぶと、対称性を扱えたり、五次方程式の解の公式がないことを示せたりする

微分形式を多様体Mの上で積分

Cは多様体

∂Cは多様体の表面

ストークスの定理とガウスの定理は１つにまとめられる

また、微分形式の式は、直交座標系じゃなくても良い

これの準備をする

0-formを引き戻すのは簡単だが、1-formを引き戻すのは難しい

一般的にこれをやる

演算に関して座標をもとに戻せというルール

これだけ*という演算を定義しておくと積分が楽になる

単体、境界、鎖

微分形式を鎖の上で積分しようとしている

鎖は多面体の量みたいなもの（三角形に対する辺のような）

向きつけられた単体を考える

第8講

鎖の上での積分を考えていくことになる

前回、一般の単体からユークリッド空間に引き戻すという演算をやったのでここでも同じような演算を考える

ユークリッド空間における超立方体を考える

こういった積分を考えたい

次はr単体の表面積分で書くことを考える

今はこれをユークリッド空間に戻してやらないといけない

ストークスの定理を証明したい

φはベクトルに対する写像

dをφ*は交換できる

おんなじことをユークリッド空間で証明する方が簡単である

ストークスの定理の例は微分積分学の基本定理である！！！！！

これらの話は機械的にやっている

微分形式の規則、外積代数の規則、r形式からr+1形式を作る微分演算とストークスの定理がわかれば機械的に出せる

3次元ユークリッド空間における曲面の表現

第9講

ガウスぼんねの定理は多次元空間における多様体の内角の和がどうなるのかという話

３次元ユークリッド空間の曲面

接平面を考えれば良い

接平面で微分形式を考える

これからいろいろ接平面についての関係式を導く

第二構造式に対して、ひょうめんせきぶんを実行するのがこれからやろうとしていること

これであの積分を評価する

この関係から、三次元空間で存在しうる正多面体の種類がすぐにわかる