オイラーの公式
Euler's formula
$ e^{iz}=\cos{z}+i\sin{z}
オイラーの公式をマクローリン展開から導く
$ e^xのマクローリン展開を考えて
$ e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots。
$ xを$ i\thetaに置き換えると
$ e^{i\theta}=1+i\theta-\frac{\theta^2}{2!}-\frac{i\theta^3}{3!}+\frac{\theta^4}{4!}+\frac{i\theta^5}{5!}-\cdots
を得る。
ここで$ \sin{\theta}, \cos{\theta}のマクローリン展開を考えると
$ \sin\theta =\theta-\frac{\theta^3}{3!}+\frac{\theta^5}{5!}-\cdots
$ \cos\theta=1-\frac{\theta^2}{2!}+\frac{\theta^4}{4!}-\cdots
である。
これらを組み合わせると
$ e^{i\theta}=\cos{\theta}+i\sin{\theta}
が得られる。$ \square