オイラーの公式

Euler's formula

$ e^{iθ} = \cos θ + i\sin θ

三角関数の偶奇性から:

code:tex

\begin{aligned}

e^{- iθ}

&= \cos(-θ) + i\sin(-θ)\\

&= \cos θ - i\sin θ

\end{aligned}

複素共役との積が1になるので、指数は純虚数になる

$ e^{λ+iω}e^{λ-iω} = 1 \iff λ = 0

微積分に適した表示

code:tex

\begin{aligned}

\cos θ &= \frac{e^{iθ} + e^{-iθ}}{2},\\

\sin θ &= \frac{e^{iθ} - e^{-iθ}}{2i},\\

\tan θ &= \frac{e^{iθ} - e^{-iθ}}{i(e^{iθ} + e^{-iθ})}

\end{aligned}

三角関数の性質を指数関数から確認する

指数法則で統合できる

実部と虚部の比較で導く

code:tex

\begin{aligned}

e^{iα}\cdot e^{\pm iβ}

&= (\cos α + i\sin α)(\cos β \pm i\sin β)\\

\mathrm{LHS}

&= e^{i(α \pm β)}\\

&= \cos (α \pm β) + i\sin (α \pm β)\\

\mathrm{RHS}

&= \cos α \cos β \mp \sin α \sin β

+i(\sin α \cos β \pm \cos α \sin β)

\end{aligned}

三角関数の微分