集合論のモノイドは単一対象圏と「同じ」ではない？
現在本を読んで確認中miyamonz.icon
以下は圏論の道案内とwikipediaから集めた情報から、「集合論のモノイドと圏論のモノイドちょっとちがくね？」という疑問が発生したものを言語化したもの あくまで、
集合論のモノイドは、単一対象圏（圏論のモノイド）に該当するが（集合もクラスなので）
圏論のモノイドから、それが集合であることは導けない
あくまで圏論のモノイドは、集合論のモノイドから性質を抜き出して、一般化したもの
圏論の道案内では、これを「本質的に同じ」と言っているが、注意しないといけない そもそも集合とクラスを区別して厳密化しているのが現代の公理的集合論および圏のやっていることなのだから
圏論の道案内のモノイドの圏あたりはここをごまかしているなというのが分かった 定義2.10 モノイド準同型の定義がここらへんをごまかしている
射のあつまり（クラス）は集合とは限らないので、圏から圏への射の対応を「写像」とは言えない
あくまでこれは「関手」という圏論の新しい言葉で説明される概念だ それともここの定義ってあくまで集合論のモノイド準同型を言ってる？それなら正しいが
単一対象圏は集合におけるモノイドと言えるのだろうか？
一つしかない対象をXとおく
この圏におけるすべての射は
X->X
これらのクラスは？
圏の定義により、
合成が存在し
結合律がある
恒等射がある
で、これが集合と言えないのがなんでかわかりませんmrsekut.icon
「対象みたいなやつ」が一つの集合？
それとも「射の集まり」の方を集合と捉える？
ラッセルのパラドックスから始まって、何でもかんでも気軽に”集まり”を集合とみなすと、矛盾が発生するmiyamonz.icon これを回避するために、公理的集合論というものが生まれた
公理によって集合を定義する
これによって集合といえないなら、それは単にクラスという
例えば「すべての集合」を集めたものは、集合じゃなくてクラス
圏論における、対象や射というものはクラスといえる
対象や射は集合でなくてもよいと考えているということ
それで、上の単一対象圏の条件だけでは集合であることは導けない
公理的集合論から、何らかの集合を構成する練習した方がわかりやすいかもmiyamonz.icon
僕もそんなに公理的集合論詳しくないのであとでやってみる
あと、少し関係ないかもだけど
「Hoge圏」と「Hogeの圏」が違うもの、というのが名称としてどれだけ一般的なのかがわからない
mrsekut.iconは今の理解では別のものと捉えているけど、それが正しいのかどうかちゃんとわかっていない
一般的に「Hogeの圏」は「「Hoge圏」を対象にした圏」
例えば「群の圏Grp」や「集合の圏Set」とかでも正しいか
前者のモノイド圏は、単一対象圏で、集合としてのモノイドをそのまま圏に拡張したものだねmiyamonz.icon
後者のモノイドの圏は、上の「単一対象圏」を対象ととした圏かなmiyamonz.icon
Mon と表記されるやつ
まだそこまで本を読みきれてないのでやや不安
ここがややこしいので、miyamonz.iconは「単一対象圏」という言葉が好きだな
上のHoge圏とHogeの圏は、圏論の道案内にそう書いてあったっけ？ あとはそれ以外の文書ではでてきた？
https://gyazo.com/0e98a49c384b33809529e53e1616b55d
あった
このページって後者のMonではない？
なんかここらへん不安になってきたなmiyamonz.icon
もしかして単一対象の圏から射（つまりその一つの対象をxとしたときのHom(x,x))が集合であることが導けるのか？
ググってたら結城先生の圏論勉強してるscrapboxがヒットした
圏Cの対象 a \in Cを考えると、射 a -> a 全体からなる集合hom(a,a) はモノイドである
まじ？miyamonz.icon
買ったmiyamonz.icon
道案内の方にもちゃんと補足があった
https://gyazo.com/015a91adaa8ee5e09436494d834dbfa6