圏論の道案内
https://images-na.ssl-images-amazon.com/images/I/41CRvI%2BLH2L._SX327_BO1,204,203,200_.jpg
定義がアバウトだったりするので、別に教科書もあるといいかも
あとで別の教科書を読む前提で雑に世界を俯瞰する
おじさん2人の会話形式で進みます
結構ミスってるので注意mrsekut.icon
目次
1章 道案内の前に
2章 圏
3章 関手
4章 自然変換
5章 普遍性
6章 冪: プログラムの本質
7章 圏論的集合論
8章 随伴
9章 モナド
10章 道案内の後に
mrsekut.iconの個人
kindle版買ってみたmiyamonz.icon
少し読んだ 良かった
今までも圏論に入門しようとしたことはあるのだが、つかめなかった
原因
硬派すぎるのを読んでしまっていた
集合圏のイメージと密結合していた
普通の集合と写像
素朴な定義に合わせて、モノイド圏から考えて、絶妙に圏の定義が今までの概念をうまい具合に抽象しているのが分かってきた
以前は「圏の圏」とか全然だったけどもう不安はなくなった
集合という具体を失って射だけを見るようにすることで、圏の構造の中にさらに圏の構造を見ることができる
インセプションみてえだなって思った
痺れるmrsekut.icon
集合という具体を捨てて再帰的に圏を考えていくのってラッセルのパラドックスと同様の矛盾を引き起こしそうだ
おそらくこれはもっとあとには書いてある
おじさんの雑談である必要は全然ない気がする
たしかにwmrsekut.icon
以前はこういう軟派な本は好きじゃなかったんだけど色好みせず読むぞという考えに変わった
てっきり脳内おじさんの会話かと思っていたが、ふたりとも著者として名前があったので実在おじさんの会話だったのかも
量系Mの量は$ \mathbb{N}のMへのモノイド準同型
あたりからよくわからなくなってきた
量系という言葉は筆者の造語で、一般的には可換モノイドというのに注意
この本特有の名前のものたちのまとめです↓
変なところがあれば修正おねがいします
ありがとーーmiyamonz.icon
量系
これ、もっとわかりやすく言えば「量系圏」と言えるのかなmrsekut.icon
量とは「kg」とか「km」とか
可換なモノイドなので、演算の順序に制限はない
射は量
合成は加法
恒等射は0のモノイド
「0kg」とか
量系の圏$ \mathrm{Qua}
可換モノイドの圏$ \mathrm{CMon}の具体例として考えている 量系は筆者が用意した可換モノイドの別名だから、具体例じゃなくて同じではない？miyamonz.icon
同じmrsekut.icon
対象は量系($ M,M')
量系間の準同型全体$ \mathrm{Hom}(M,M')も量系
射はモノイド準同型
量系と量系の間の射だねmrsekut.icon
「走行時間(h)を表す量」と「走行距離(km)を表す量」の正比例を考えると
走行時間が決まれば、走行距離が決まる
この関係をhからkmへの関手とみなす
例えば10km/hのとき、関手$ f:h\rightarrow kmを考えると
$ f(10+20)=f(10)+f(20)=1000+2000=3000(\mathrm{km})になる
https://gyazo.com/30095820beb99d6969dd1bafe9f2887c
任意の量系$ Mと$ \mathrm{Hom}_\mathrm{Qua}(\mathbb{N},M)はモノイドとして同型
量系間の準同型全体$ \mathrm{Hom}(M,M')も量系
https://gyazo.com/e1d1806f8ce44593a7bc1380cf57a323
量系から量系への関手は、正比例の関係と捉えることができる
ここで一番上のような何もしない関手0を定めれば、この関手群$ \mathrm{Hom}(km,h)を量系圏と考えることができる
この射は「1単位あたりの量」である内包量だと考えることができる
ref 圏論の道案内.icon pp.82-85 関手の例4
$ \tilde{v}(n)=vnの$ nは$ \mathbb{N}の射
$ \tilde{v}は、$ \mathbb{N}から$ Mへの関手
ここでの主張は、「一般の量をモノイド準同型とみなせる」ということ
$ vnだけで$ Mの全ての射を表せることが前提にあるきがする
なんでコレ成り立つ？
ちょっと疑問なのは、$ vと$ 2vの間に入るものはないのか？ってこと
$ v=2なら、$ 2と$ 4の間に$ 3みたいなやつがありそうだけど、
今は無限集合と無限集合の一対一対応の話をしているからそれはどうでもいいのか？
https://gyazo.com/0ecb3a5a614e2efb506fad785d78d601
$ Mは量系圏。つまり可換なモノイド
$ \mathbb{N}も同じ
射を元と考えたときの、写像と捉えることができる
$ vと$ \tilde{v}を同一視できる
こまかい定義を確認する前に、これが何を言っているのかわからない
一つの量系圏の射と考えていたものが、
複数の量系の圏の射とも考えることができる
上の画像の小さい丸まってる矢印が前者、左から右へいってる矢印が後者
これらは完全に一対一対応してるので同一視できる
数系
特殊な量系のこと（？）
どう特殊かというと
上の$ \mathbb{N}は数系
量系は$ \mathbb{N}上の量系
？？？？？
数系$ Aの量を数と呼ぶ
数系$ Aの射だねmrsekut.icon
まじでわからん
定義がざっくりすぎる
半環から攻めたほうがいいきがしてきた
無謀だった