関手がわからんくなった

関手ってこう考えられるか

以下を両方とも満たすもの

圏を「対象の集合」と考えた時の、圏から圏への写像

元は対象

圏を「射の集合」と考えたときの、圏から圏への写像

元は射

関手$ F:\mathscr{A}\rightarrow\mathscr{B}を考えた時、

$ \mathscr{A},\mathscr{B}にぼっちの元は存在する？

定義上、ぼっちの元は存在しないですよ。対応する対象が必要です。ironoir.icon

なるほどmrsekut.icon

元とは、対象または射のことを言ってる

つまり、

$ \mathscr{A}はちゃんと「写像」と言える？

$ \mathscr{B}へは全射になってる？

https://gyazo.com/ae22529da3a53220faccbf01cb9fa5fa

そもそも関手って写像ではない？

「本質的に全射」という言葉があるのかmrsekut.icon

ちょうどmiyamonz.iconも圏論の基礎の内容メモあたりで悩んでいたのだが、

圏論の射を集合とするかどうかで言葉遣いに気をつけないといけなくて、

写像ってのはそもそも集合論の言葉

だから、もし射を集合と見なさないなら

関手を写像と呼ばないか

圏論における写像として、拡張して命名するか

とかを気にしないといけなさそう

まだ整理がついてないmiyamonz.icon