圏論の基礎の内容メモ
だいたい第一章の後半に上の疑問に関する記述がまとまっている
まず集合論を使わずにただ公理によって記述されたものをメタ圏と読んでいる
これを単なる圏と本書では区別している
最初は
後半はもう濁してあるかも
他の書籍や記事は、これがどっちの立場なのか気をつけて読むようにしようmiyamonz.icon
その上で
圏とは（メタ圏と区別するときには）圏の公理の集合論への任意の翻訳を意味することになる
とある
メタ圏という言葉はどのくらい一般的なんだろうmiyamonz.icon
p11あたりで「射の集合」「対象の集合」とある
対象は、恒等射と同一視できるので、射が集合であれば対象も集合であろう
なので、大事なのは射のあつまりを集合とみなすのかどうかである
また、$ hom(b,c) = \{ f \mid f in C \space domf = b, cod f = c \}
hom集合(hom-set)と言っている
ここらへんはwikipedia等でもみたことがある、小さな圏とか大きな圏とかに関係する話題と思える
結局p12で言っている、
任意の圏Cと対象$ a \in Cにおいて、集合$ hom(a,a)はモノイド
という主張は、メタ圏でない圏においてのはなしをしているにすぎない
本全体が、知ってる人が頑張って書いたという感じがあって、何も知らん人の入門としての体を為してない感じがするmiyamonz.icon
詳しい定義が後で出てきたりする
あんまり引っかかりすぎずに、わかるところから読んだり他の本も読んだほうが良さそうだな
Setとかそういう圏はすべて、対象はすべての「小さな集合」
ユニバースという概念を使ってる
小さな集合とは、ユニバースの要素であるような集合
ユニバースとは、集合の集合なんだけど、なんらかの数学の演算について閉じているようなものをいい、
ユニバース内の集合すべてをあつめたものも集合である、そう仮定している
つまりユニバースというものが存在するという仮定している
どうやらクラスという用語のmiyamonz.iconの認識が甘かったようで、結構踏み込んでこの本には書いてある
あとで整理しないといけない
「集合」という言葉もまた広くとっている
従来の集合を小さい集合と読んでるぽい
あるいみ一般名詞としての集合に戻ったと言える
記法の立場が２つある
ユニバースを仮定すると、公理的集合論をみたすのでこれでやっていってる立場 集合と別に「クラス」を定義して、これらの概念のためにGB公理系を用いる
クラスをユニバースの任意の部分集合と定義している
本書では、ユニバースさえ仮定しちゃえば十分でしょ！って感じぽい
書籍では途中から、ユニバースUの表記を落として、
小さな集合、クラス、集合と単に表記することにしている
miyamonz.iconが今まで書いていたのは、
集合、クラス
というあれだったが、
小さな集合とクラスを含んだものを集合と書いてるっぽい
小さな集合は、公理を満たすような集合のことを指すので、基数は関係ない
例えば$ \{U\}は要素数は１だが、
$ \{U\} \in Uは$ U \in Uを導くので正則公理に反する
つまり基数１だが小さな集合ではない
他にも、グロ丹ディクは、別の定義を用意していて
任意の集合Xに対して、$ X \in UとなるあるユニバースUが存在すると仮定している
ここでの集合はどっちの集合かはよくわからん
これは強い仮定
こういうこともあってややこしいので、
メタ圏のように集合論に基づかず、
定義していない用語
射
対象
ドメイン、コドメイン
合成
恒等射
という未定義述語上の一階の公理として定義が与えられている理由がある