電磁気学
電磁気の学問
現象
電磁誘導
en: electromagnetic induction
電磁波
en: electromagnetic wave
波動方程式
when ρ = 0, J = 0
$ \frac{1}{c^2}\frac{∂}{∂t}\bm{E}-Δ\bm{E}=0
$ \frac{1}{c^2}\frac{∂}{∂t}\bm{B}-Δ\bm{B}=0
横波
位相速度 = ω/k = c
偏光
en: polarization
種類
直線偏光
電場振動面: 一定
磁場振動面: 一定
回転なし
位相差: 0, ±τ/2 mod τ
円偏光
種類
左旋光
右旋光
振幅: 一定
位相差: ±τ/4 mod τ
楕円偏光
一般
en: Maxwell's equations
4 (partial differential) equations
Gauss の法則
aka. ガウスの定理
en: Gauss's law, Gauss's flux theorem
$ \operatorname{div}\bm{E}(\bm{x}) ≡ ∇\cdot \bm{E}(\bm{x}) = \frac{1}{\epsilon_0}ρ(\bm{x})
ガウスの磁場の法則
aka. 磁束保存の式
i.e. 磁場に湧き出しなし
i.e. 磁気単極子の不存在
no monopole
$ \operatorname{div}\bm{B}(\bm{x}) ≡ ∇\cdot \bm{B}(\bm{x}) = 0
ファラデーの電磁誘導の法則
en: Faraday's law of induction
$ \operatorname{rot}\bm{E}(\bm{x}) ≡ ∇×\bm{E}(\bm{x}) = \frac{∂\bm{B}(\bm{x})}{∂t}
$ ∵ \oint_C\mathrm{d}\bm{x}⋅\bm{E}(\bm{x})=-\frac{\mathrm{d}\bm{Φ}(\bm{x})}{\mathrm{d}t} ≡ -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}∫_S\mathrm{d}\bm{S}⋅\bm{B}(\bm{x})
Ampère–Maxwell の法則
en: Ampère's circuital law
aka. Ampère's law with Maxwell's addition
$ \operatorname{rot}\bm{B}(\bm{x}) ≡ ∇×\bm{B}(\bm{x}) = {μ_0}\bm{J}(\bm{x})+\frac{1}{c²}\frac{∂\bm{E}(\bm{x})}{∂t}
まとめる
$ ☐A^η = {μ_0}J^η
☐: d'Alembertian, d'Alembert operator
ja: ダランベルシアン
相対論の形式
2組
$ ∂_η F^{ην} = {μ_0}J^ν
Gauss の法則、Ampère–Maxwell の法則
$ ∂^η F^{νσ} + ∂^ν F^{ση} + ∂^σ F^{ην} = 0
Gauss の磁場の法則、Faraday の電磁誘導の法則
cf. 巡回置換
共変形式$ ∂_η F_{νσ} + ∂_ν F_{ση} + ∂_σ F_{ην} = 0
aka. ビアンキの恒等式
電磁場テンソル$ F^{μν}
aka. 場の強さテンソル
2階反対称共変テンソル$ F_{ην} = ∂_η A_ν - ∂_ν A_η
2階反対称反変テンソル$ F^{ην} = ∂^η A^ν - ∂^ν A^η
Dirac
概念
電磁気
aka. 電磁気力
電荷
en: electric charge
単位電荷 e
クーロン力
en: Coulomb force
電磁相互作用
媒介粒子: 光子
スピン1
$ \bm{F} = \frac{1}{2τ\epsilon_0}\frac{qQ}{r^2}\hat{\bm{r}} = Q\bm{E}(\bm{r})
where $ r = \|\bm{r}\|
クーロンの法則
静電場でのみ正しい
電場
aka. 電界
en: electric field
$ \bm{E}(\bm{r}) = \frac{1}{2τ\epsilon_0}\frac{q}{r^2}\hat{\bm{r}}
静電場
en: electrostatic field
$ ∇× \bm{E}(\bm{x}) = \operatorname{rot} \bm{E}(\bm{x}) = 0
i.e. 磁場なし
電束
en: electric flux
$ Φ_E = ∫_S d\bm{S}\cdot\epsilon_0\bm{E}(\bm{r})
ガウスの法則
aka. Gauss's law
$ Φ_E = q
$ \operatorname{div}\bm{E}(\bm{x}) ≡ ∇\cdot \bm{E}(\bm{x}) = \frac{1}{\epsilon_0}ρ(\bm{x})
電位 φ
aka. 静電ポテンシャル
名前の通り、静電場が前提。
電位の div から電場が分かる
2点の電位の差が電位差。
aka. 電圧 $ \mathcal{E}, V
Poisson方程式
$ Δ\phi ≡ ∇²\phi = -\frac{ρ}{\epsilon_0}
Laplace方程式
$ Δ\phi ≡ ∇²\phi = 0
特殊化
前提: 静電場のみ
性質
解の一意性
電荷分布 ρ → 静電ポテンシャル φ ≈ 電位 V
解法
簡易
どちらも Green関数を使って解く。
厳密
$ φ(\bm{r}) = \int_{V'}\mathrm{d}{V'}\frac{1}{2τ\epsilon_0}\frac{ρ(\bm{r}')}{|\bm{r}-\bm{r}'|}
微小電荷: $ \mathrm{d}{V'}
磁場
ガウスの法則とローレンツ変換だけ知ってれば、導出できる。
subclasses
静電磁場: 定常電流の静磁場?
ローレンツ力
en: Lorentz force
式 $ \bm{F}(\bm{r}) = q(\bm{E}(\bm{r}) + \bm{v} × \bm{B}(\bm{r}))
クーロン力の一般化
クロス積
フレミングの左手の法則
特殊化
磁場のみ(電場を無視する)
MKSA単位系における規格化因子
μ₀/τ
現象
磁場の中での円運動
左手の法則
逆向き平行な電流には反発力が生じる。
光速
$ c² = \frac{1}{{ε_0}{μ_0}}
磁束密度 B
cf. 磁場 H
湧き出しなし
$ \operatorname{div} B ≡ ∇⋅B = 0
電流密度 J
cf. 電場 E
アンペールの法則
en: Ampère's circuital law
磁場の閉経路に関する方程式
閉経路・回路・循環 → circuital/circulation
$ \operatorname{rot}\bm{B} ≡ ∇×\bm{B} = {μ_0}\bm{J}
一般化 → Ampère–Maxwell の法則 ∈ Maxwellの方程式
$ \operatorname{rot}\bm{B} ≡ ∇×\bm{B} = {μ_0}(\bm{J}+{\epsilon_0}\frac{∂\bm{E}}{∂t}) = {μ_0}\bm{J}+\frac{1}{c²}\frac{∂\bm{E}}{∂t}
vector potential
def. $ A \text{ where } B = ∇×A ≡ \operatorname{rot} A
ゲージ変換
en: gauge transformetion
$ λ\bm{A}.\,\bm{A}+∇χ
$ ≡ λ\bm{A}.\,\bm{A}+\operatorname{grad}χ
クーロン・ゲージ A
en: Coulomb gauge
$ Δ{A}^η=μ_0 J^η
Biot–Savart の法則
ja: ビオ・サバールの法則
$ \bm{B}(\bm{x}) = ∮\frac{μ_0}{2τ}\bm{I}\frac{\mathrm{d}\bm{I}×\hat{\bm{r}}}{r²}
前提: 定常電流
静電場ではない。⇔ 磁場あり。
最小単位で見る
→ 点電荷に対するビオ・サバールの法則
ローレンツ・ベクトル
4次元時空間
→ 電場・磁場
aka. 電磁場テンソル
2階反対称テンソル: 共変・反変 $ F_{ην}, F^{ην}
磁束 Φ
誘導起電力 $ \mathcal{E} = -\frac{\mathrm{d}Φ}{\mathrm{d}t}
cf. ファラデーの電磁誘導の法則
∈ マクスウェル方程式
Poynting vector Σ
cf. エネルギー収支
誘導電場
Coulomb電場 + その他の電場
note: 静電場じゃない。
ローレンツ・ゲージ
cf. ゲージ変換
ゲージ条件:$ ∇⋅\bm{A}+\frac{1}{c^2}\frac{\mathrm{d}φ}{\mathrm{d}t}=0
aka. ローレンツ条件
ローレンツ条件
$ ∇⋅\bm{A}+\frac{1}{c^2}\frac{\mathrm{d}φ}{\mathrm{d}t}=0
相対論の形式 $ ∂_ν A^ν = 0
一般化オームの法則
v << c
単位
table:units
光速 c
誘電率 ε₀
透磁率 μ₀
クーロン C A s
アンペア A
自然単位系
c = 1
ε₀ = μ₀ = 1
MKSA-SI 単位系
ε₀ = μ₀ = 1
Z₀ = 2τ/c
テクニック
δ関数
全範囲の積分から一点への代入を作れる。
3次元版
$ Δ(\frac{1}{|\bm{r}-\bm{r}_0|}) ≡ ∇²(\frac{1}{|\bm{r}-\bm{r}_0|}) = -2τδ^{(3)}(\bm{r}-\bm{r}_0)
グリーン関数
方程式ごとに決める様だ。
ポアッソン関数:
$ Δ'G(\bm{r},\bm{r}')=-δ^{(3)}(\bm{r}-\bm{r}')
source coordinates: r', Δ'
準静的過程
条件: $ t = r/c ≪ τ = 1/ν
$ \iff r ≪ λ = c/ν
例
系
荷電粒子
一様な磁場
磁場方向に向って螺旋運動する。
並行方向: 等速直線運動
垂直方向: 円運動
一様な電場(静電場)
catenary
非相対論的近似
parabora
非相対論的な一様な電磁場
trochoid (curve)
cycloid (curve)
応用例
書籍
駒宮 幸男『入門 現代の電磁気学:特殊相対論を原点として』
ref.
Maxwell–Heaviside equations
有理化 (λx. x/2τ) は考えなくて良い。wint.icon
静電場・静磁場の特殊ケースのアンチョコ