検出力 - wint

検出力

en: power of a (binary hypothesis) test

aka. statistical power

test = binary hypothesis test

数学用語

（2値）仮説検定の用語

確率の一種

power（検出力）⊂ probability

モデル

parametric な統計モデルのこと

エラー、錯誤

第一種の誤り

第二種の誤り

状況設定

モデルのパラメーター空間 Θ

その2分割（互いに補集合）:

Θ₀

このパラメーターが帰無仮説をなす

Θ₁

このパラメーターが対立仮説をなす

Θ = Θ₀ ⊔ Θ₁

しかし、別に連結だったり切断だったりしなくても良い。

e.g. Θ₀ が singleton {θ}

検出力

en: power

def. $ \text{power} ≔ \operatorname{Pr}(\text{reject }H_0 \mid H_1 \text{ is true}) = \operatorname{Pr}(R_0 \mid {R_1}^∁).

$ = 1-\operatorname{Pr}({R_0}^∁ \mid {R_1}^∁) = 1-\operatorname{Pr}(\text{accept }H_0 \mid H_1 \text{ is true})

= 1 − β

通常、 β を Type Ⅱ Error（第二種錯誤）の確率とする。

検出力函数

en: power function, statistical power function

def.

$ β(θ) ≔ P_θ(\bold{X} \in R).

ref. Casella, Berger (2002) Statistical Inference (def 8.3.1, §8.3.1, p. 383)

R: rejection region

def. $ P_θ(\bold{X} \in R) ≔ \begin{cases} \text{probability of a Type Ⅰ Error} & \text{if }\;θ∈Θ_0 \\ 1-(\text{probability of a Type Ⅱ Error}) & \text{if }\;θ∈{Θ_0}^∁ \end{cases}

$ = \begin{cases} P(\text{false positive}) & \text{if } H_0 \text{ is true} \\ 1-P(\text{false negative}) & \text{if } H_1 \text{ is true} \end{cases}

$ = \begin{cases} α & \text{if }\;θ∈Θ_0 \\ 1-(\text{power}) & \text{if }\;θ∈{Θ_0}^∁ \end{cases}

where

Θ₀ = set of all possible values for θ under the null hypothesis H₀

ref. Casella, Berger (2002) Statistical Inference (§8.3.1, pp. 382–383)

ideally

$ β(θ) = \begin{cases} 0 & \text{if }\;θ∈Θ_0 \\ 1 & \text{if }\;θ∈{Θ_0}^∁ \end{cases}

where α = β = 0

しかし、通常 α と β とはトレード・オフの関係にある。 #trade-off

⇒ α を固定したうえでの β(θ) の max–min問題になる。

cf. 最適化問題wint.icon

このときの α を有意水準と呼び、そのうえで仮説検定を実施する。

検定: $ \sup\{β(θ) \mid θ ∈ Θ_0 \land β(θ) = α\}