集合の等しさ
2つの集合AとBが持っている要素が同じとき，かつ，そのときに限って，AとBは等しいと定めます.(p.3)
つまり
$ \forall a \in Aに対して$ a \in B
かつ
$ \forall b \in Bに対して$ b \in A
が成り立つとき、$ A=Bということ
∀？∀ガンダム.icon
すべてのという意味
翻訳してみよう
$ \forall a \in Aに対して$ a \in B
集合Aに属するすべての要素a に対して 集合Bにaが属する
かつ
$ \forall b \in Bに対して$ b \in A
集合Bに属するすべての要素b に対して 集合AにBが属する
が成り立つとき、$ A=Bということ
なるほど？cFQ2f7LRuLYP.icon
$ A = \{1,2,3\}と$ B= \{1,2,3\}の2つの集合がある場合、これは等しい
どっちも要素がおんなじだからだcFQ2f7LRuLYP.icon
$ A = \{2,4,6,8,10,\cdots\}と$ B= \{2,4,6,8,10\}の2つの集合がある場合、これは等しくない
$ Aに属している要素$ {12, 14, ...}が$ Bには属していないからcFQ2f7LRuLYP.icon
この場合、Bの要素全部がAの要素でもあるので、BはAの部分集合だといえる 発展：$ \{1,2,2\}と$ \{1,2\}は等しい？
おっと問題が生えてきたぞcFQ2f7LRuLYP.icon 持っている要素が同じかどうかで考えればよさそう。個数は上の定義(?)では言及されてない
どちらも1と2を要素に持ってる。でそれ以外の要素はない。
要素はおんなじだと言える
こたえ：$ \{1,2,2\}と$ \{1,2\}は等しいcFQ2f7LRuLYP.icon
現実の感覚とは異なるが
「現実の感覚とは異なる」というのがヒジョーに大事だと思う
数学だと鶴亀算で鶴と亀の鶴亀要素を捨象して足のみで考える(?)
めちゃくちゃな字面になった
鶴亀という具体から、数という抽象へ移動している
定義の中で是か非かを考える
「現実世界」の物差しを捨てる必要がある
オセロの世界で囲碁はできないみたいなtakker.icon
つまらない言い回しになるけど、この辺はいわば「定義ゲー」だと思っているtakker.icon ルール通りに展開するだけ
ちゃんと定義にそって考えている点がすごいtakker.icon*2
takker.iconだったら確実に引っかかっていた
あってます！takker.icon
使えるルール
つまり
$ \forall a \in Aに対して$ a \in B
かつ
$ \forall b \in Bに対して$ b \in A
が成り立つとき、$ A=Bということ
$ \{1,2,2\}と$ \{1,2\}は等しい？
$ A= \{1,2,2\},\ B=\{1,2\}
1. $ \forall a \in Aに対して$ a \in Bである。
集合Aのすべての要素1, 2は、集合Bの要素であるcFQ2f7LRuLYP.icon
2. $ \forall b \in Bに対して$ b \in A
集合Bのすべての要素1, 2も、集合Aの要素であるcFQ2f7LRuLYP.icon
上二つが成り立つので、$ A=B
なるほどcFQ2f7LRuLYP.icon