開集合の定義
参考までに岩波数学辞典第3版による開集合の定義を、数学記号を日本語に置き換えて雰囲気だけお伝えします。 集合$ Xの部分集合の集合$ Dが
$ Xと空集合を含む。
$ O_1、$ O_2が$ Dの要素なら$ O_1と$ O_2の共通部分集合も$ Dの要素である。 ある集合$ \Lambdaのすべての要素$ \lambdaについて$ O_\lambdaが$ Dの要素であれば、ある集合$ \Lambdaのすべての要素$ \lambdaについて$ O_\lambdaの和集合をとったものも$ Dの要素である。
よくある再帰的定義/villagepump/takker.icon の3つの条件を満たすとき、$ Dを開集合系と言い、$ Dに属する集合$ Oを開集合と言う。 Oλとは
λは添字。集合Λの要素を$ O_1,O_2\cdots,O_\lambdaと名前をつけて呼んでいるmrsekut.icon
作用してるのかと思ったw基素.icon
見やすいよう$ \KaTeXで書き直しましたtakker.icon
部分集合の集合はいまやってるが……cFQ2f7LRuLYP.icon
要素をとりだすと部分集合であるような集合じゃないのかな基素.icon
数学記号に直すとtakker.icon
$ \mathcal{D}が$ Xの開集合系である$ :\iff1~4をすべて満たす
1. $ \mathcal{D}\subseteq 2^X
$ \forall O\in\mathcal{D};O\subseteq Xと同値
2. $ X,\varnothing\in \mathcal{D}
3. $ \forall O_1,O_2\in \mathcal{D};O_1\cap O_2\in\mathcal{D}
有限個の共通部分集合
4. $ \forall \mathcal{O}\subseteq\mathcal{D};\bigcup\mathcal{O}\in\mathcal{D}
無限個の和集合
数式はわかったけど気持ちがわからない基素.icon
具体例で考えないと
試しに$ X=\rbrack0,1\lbrackで考えてみようtakker.icon
(明日以降やります。誰かやってもおｋ)
離散集合のケースをやっておいたnishio.icon それはそうと分数使うの入力がめんどいから$ X=\rbrack0,5\lbrackとかがいいんじゃない？
集合に含まれるかどうかで距離っぽい概念を表しているtakker.icon
それと1~4がどう組み合わさって「開」を表しているのかは自分もわからない
これ以上は具体例がほしい
具体例nishio.icon
$ \{X,\varnothing\} は $ X の開集合系
$ \{ \varnothing, \{0, 1\}\} は $ \{0, 1\} の開集合系
$ 2^X は $ X の開集合系
$ \{ \varnothing, \{0\},\{1\},\{0, 1\}\} は $ \{0, 1\} の開集合系
その他
$ \{ \varnothing, \{0\},\{0, 1\}\} は $ \{0, 1\} の開集合系