空集合はある集合の部分集合になるか？
発展：$ \varnothingは$ Aの部分集合？
おっと～？cFQ2f7LRuLYP.icon
$ \varnothing \sub AはTrue?ってことだな
空集合は要素がないってことだし、inではない
$ A = \{2,4,6,8,10,\cdots\}
まずかんがえてみよ
+1nishio.icon
1. 部分集合の定義は$ \subsetは集合Bの要素すべてが集合Aの要素でもあること。 したがって問題は「何の要素もない」ことを集合のルールではどう扱うか、ということだな
-1nishio.icon
ツリーをぶら下げると深過ぎになるからページ末に書く
🙏cFQ2f7LRuLYP.icon
これは今持っている知識でなんとかなるかな？
(やっべここまでの知識じゃとけない問題だったかも。次節に進むよう促したほうがいいかなという考えと、いやこの流れならワンチャンいけそうcFQ2f7LRuLYP.iconさんを信じるんだ！という考えとの狭間でなやんでいる顔)takker.icon
要素を全く持たない集合ってどんなのがあるかな
$ A=\{x|x<0 \}(ただし、xは自然数とする)
これは要素がないといえる
これとは関係ないけど、グラフ計算のときにスプレッドシートを使えるようになるともっといいんだろうな
仮にA(空集合)と、要素1しかないBがあった場合にどうなるか？
$ A=\{x|x<0 \}(ただし、xは自然数とする)
$ B=\{x|x=1\}
つまり$ B=\{1\}
でもここから先はルールの話になるからわからん。
AとBとを同じと見なすか？
ここ別のAを示している？takker.icon
$ A=\{x|x<0 \}は空集合だから、$ A\neq B
matigaidesu..........cFQ2f7LRuLYP.icon
AはBの部分集合になるか？
現実世界的感覚だと、データベースのことを考える(現実世界的感覚で考える禁忌)cFQ2f7LRuLYP.icon
Aで検索して一例も出ませんでした！！！！というのと、
Bで検索して1例でました！！！！というのは併存しうる
フォルダに一個ファイルがあるケースでも同じ
こっからはルールゲーだし、飛ばして先に進んでもいいと思うtakker.icon
続きは第2章をやればたぶんやれる
第4章までやれば確実にやれそう
覚えてろよ～(捨てゼリフ)cFQ2f7LRuLYP.icon
https://gyazo.com/2697be2575751ad101b59d76764ce9f5
サムネが サムネがオシャカになったっ
タイトルとサムネが全く一致してなくて草takker.icon
ちゃんとしたサムネイルを用意したのでごあんしんくださいcFQ2f7LRuLYP.icon
---仕切り直し
1. 部分集合の定義は$ \subsetは集合Bの要素すべてが集合Aの要素でもあること。 集合Xの要素xすべてがP(x)である
$ \forall x \in X : P(x)
(old: $ \forall x \in X(P(x)))
がXが空集合の時に成り立つかどうか
cFQ2f7LRuLYP.icon集合Xが$ \{1,2\} だとすると
集合Xの要素xは1,2
この要素すべてがP(x)である
これは集合P(x)の話をしている
$ P(x)=\{1,2\}ということだな
待って！違う！nishio.icon
これではないのですね。修正します！cFQ2f7LRuLYP.icon
「集合Xの要素xすべてがP(x)である$ \forall x \in X (P(x))」これでひとつ
これの$ X (P(x))で混乱しているのか？
f(f(x))みたいな話？
$ \forall x\in Xと$ P(x)で分けてくださいtakker.icon
$ P(x)の外側括弧は、単にくくって区別しているだけ
他の流儀で書くとこんな感じ
$ \forall x\in X;P(x)
$ \forall x\in X:P(x)
$ \forall x\in X.P(x)
そうしようnishio.icon
ギャッ過去の自分のメモだッcFQ2f7LRuLYP.icon
これは$ \existでしたが、それを$ \forallに置き換えていただければと思いますtakker.icon
ただし$ \forall d\leqq x[\cdots]\overset{\rm def}{\iff} \forall d[d\leqq x\textcolor{red}{\implies}\cdots] である点に注意
では集合Xが$ \{\}だったら？
集合Xの要素xは……ない
$ P(x)について
Wikipediaにいい説明ないかなと思ったけど見つからなかったnishio.icon
簡単に言えばTrueかFalseかを返す関数
イプシロンデルタ論法の時の複雑な式で見るようなcFQ2f7LRuLYP.icon
本題に関係ないところを削ったつもりが余計混乱を招いたようだ
あとから私が見れば良い話cFQ2f7LRuLYP.icon
---仕切り直しアゲイン
集合Xの要素xすべてがYの要素である
$ \forall x \in X : x \in Y
がXが空集合の時に成り立つかどうか
ここから少し雑な説明nishio.icon
「集合Xの要素xすべてがYの要素である」は「xが集合Xの要素ならxはYの要素である」と等価(1)
$ \forall x : x \in X \Rightarrow x \in Y
対偶をとることで、下記も等価とわかる(2)
$ \forall x : x \notin Y \Rightarrow x \notin X
空集合の定義から$ x \notin Xは常に真(3)
よってこの全称命題全体が真
(1)の書き換えがなぜOKなのか問われるとむむ？となるnishio.icon
身も蓋もない説明だと「$ \forall x \in X : x \in Y\stackrel{\rm def}{\iff}\forall x : x \in X \Rightarrow x \in Y」takker.icon
納得の行く説明をするなら、「$ \implies以外に$ \forall x\in Xを説明できる方法がない」？
びみょい……
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