環
数学における環（かん、英: ring）とは、台集合に「加法」（和）および「乗法」（積）と呼ばれる二種類の二項演算を備えた代数系のことである。
環_(数学) - Wikipedia
環の定義
任意の集合$ \underline Rとその上の二項演算$ +,\timesが以下の条件(環の公理)を満たす時、三つ組$ R=(\underline R,+,\times)を環と呼ぶ
1. $ (\underline R,+)が可換群をなす
2. 流儀が分かれる
$ (\underline R,\times)がmonoidである
乗法単位元を要求する定義
特に単位環(unital ring, unitary ring)と呼ばれる
$ (\underline R,\times)が半群である
特に擬環(pseudo-ring, rng)と呼ばれる
3. 分配律
左分配律$ \forall a,b,c\in\underline R.a\times(b+c)=a\times b+a\times c
右分配律$ \forall a,b,c\in\underline R.(a+b)\times c=a\times c+b\times c