忘却函手 - 井戸端

忘却函手

非公式な用語で、正式な定義はないらしい

なんじゃそりゃtakker.icon

(a) $ U:{\bf Grp}\to{\bf Set}

$ U_o:{\rm ob}({\bf Grp})\ni G\mapsto\underline G\in{\rm ob}({\bf Set})

$ \underline G：$ Gの台集合

$ U_f:{\bf Grp}(G,H)\ni g\mapsto g\in{\bf Set}(U_o(G),U_o(H))

$ gはここでは群準同型写像である

つまり、$ U=(G\mapsto\underline G,g\mapsto g)である

ようは群の圏から群の性質を削り取り、ただの集合と写像に仕立て上げたということ

これを忘却と呼んでいる

$ P\land Q\implies Pとやっていることは同じtakker.icon

(b) いろいろな忘却函手

環構造を忘れちゃった函手$ U:{\bf Ring}\to{\bf Set}

$ U=(R\mapsto\underline R,r\mapsto r)

線型構造を忘れちゃった函手$ U:{\bf Vect}_K\to{\bf Set}

$ K：任意の体

$ U=(V\mapsto\underline V,v\mapsto v)

どんどん忘れていこうtakker.icon

実装を維持して、型定義を忘れた感じに近いtakker.icon

typescriptで書いた函数をjavascriptにtranspileするイメージ

……でおおむね的を得ていると思うがどうじゃろか

すべて忘れなくてもいいんですって！takker.icon

Abel圏(可換群の圏)$ \bf Ab、monoidの圏$ \bf Mon

構造や性質の一部だけを忘れた函手を考えられる

$ (\underline A,+,\times)をから$ \timesを削って$ (\underline A,+)にしちゃうとか

$ U:{\bf Ring}\to{\bf Ab}

$ U=((\underline R,+,\times)\mapsto(\underline R,+),r\mapsto r)

環は$ +に関して可換群

$ U:{\bf Ring}\to{\bf Mon}

$ U=((\underline R,+,\times)\mapsto(\underline R,\times),r\mapsto r)

環(擬環)は$ \timesに関してmonoid

(d) 性質を忘れる

どれも構造は$ (\underline A,+)と共通だが、満たすべき条件が緩和されていく

$ U:{\bf Ab}\to{\bf Grp}

$ U=(A\mapsto A,a\mapsto a)

忘れるのは世の常だが、効力を発揮することがあるらしい

忘れがちでも役に立つtakker.icon