十分条件と必要条件

十分条件と必要条件

変数$ xの変域を$ Uとして、$ P(x),Q(x)を自由変数$ xの述語であるとする

$ P(x)の真理集合が$ Q(x)の真理集合の部分集合である場合

は、このようになるcFQ2f7LRuLYP.icon

$ \{x|P(x)\}\subset\{x|Q(x)\}

このとき、$ P(x)は$ Q(x)の十分条件 (sufficient condition) 、$ Q(x)は$ P(x)の必要条件 (necessary condition) である、という

例cFQ2f7LRuLYP.icon

変数$ xの変域を$ \Nとして、$ P(x),Q(x)を自由変数$ xの述語であるとする

$ P(x)が「$ x+1=2」、$ Q(x)が「$ x^2-3x+2=0」としよう

このとき$ P(x),Q(x)の真理集合は

$ \{x|P(x)\}=\{1\}

$ \{x|Q(x)\}=\{1,2\}

したがって$ P(x)の真理集合は$ Q(x)の真理集合の部分集合である

$ \{x|P(x)\}\subset\{x|Q(x)\}

このとき、$ P(x)は$ Q(x)の十分条件、$ Q(x)は$ P(x)の必要条件である

$ P(x)が$ Q(x)の十分条件であり、かつ必要条件でもあるときは$ P(x)は$ Q(x)の必要十分条件(necessary and sufficient condition)という

これは$ P(x) \iff Q(x)と同じ

table:if-then

A B A -> B

0 0 1

0 1 1

1 0 0

1 1 1

$ A \to Bを満たすには、$ Bが真であることが必要なので、$ Bが必要条件という覚え方をしているbiwa.icon

$ Aが真の時、$ Bは真である必要がある。

$ Bが真の時、$ Aはなんでも良い。

微妙な覚え方だ

$ Aを仮定したときに、$ Bが真である必要があるという言い方もできる

覚え方としては本人が覚えられればなんでもいいけどロジックは微妙だなnishio.icon

「$ A \to Bを満たすには、$ Bが真であれば十分」とも言えるので。

あ、そもそも「$ A \to Bを満たすには、$ Bが真であることが必要」はFalseだね

AがFalseのときも満たすから。

$ A \to Bを満たすには、$ Bが真であることが必要なので、$ Bが必要条件は、脳内からパッと出てくる言葉で、論理的に正確な説明は、下の二行で説明しているbiwa.icon

あー、なるほど、理解nishio.icon

わかる〜！！.icon「$ A \to Bを満たすには、$ Bが真の必要っぽさあるよね〜〜」逆わかる〜！！.icon「わかる〜」

ということね、それはわかる〜