ミッション：普遍的な錐・余錐を見つけよ
線型空間の話
これだけやれそうなのでやってみるtakker.icon
$ \forall K\in{\cal B}\forall X,Y\in{\cal L}(K)とする
この問題に限り、以下の定義を用いる
$ \forall V\in{\cal L}(K)\forall f:\underline V\to\underline X\forall g:\underline V\to\underline Yにて、$ f,g\text{ are linear}のとき$ (V,f,g)を錐(cone)とする $ \forall V\in{\cal L}(K)\forall f:\underline X\to\underline V\forall g:\underline Y\to\underline Vにて、$ f,g\text{ are linear}のとき$ (V,f,g)を余錐(cocone)とする 錐の集まりを$ \rm Cone, 余錐の集まりを$ \rm Coconeとする
錐$ (P,p_1,p_2)の普遍性を$ \forall(V,v_1,v_2)\in{\rm Cone}\exist!f:\underline V\to\underline P.f\text{ is linear}\land p_1\circ f=v_1\land p_2\circ f=v_2とする
余錐$ (Q,q_1,q_2)の普遍性を$ \forall(V,v_1,v_2)\in{\rm Cocone}\exist!f:\underline Q\to\underline V.f\text{ is linear}\land f\circ q_1=v_1\land f\circ q_2=v_2とする
(a)普遍的な錐を見つけよ
まずは、錐の普遍性を図解してみる
https://scrapbox.io/files/65c80f153153290024bdfe0e.svg
code:q0.14(a).tikz(tex)
\begin{document}
\node (V) at (2,0) {$\forall\underbar V$};
\node (T) at (1,{-sqrt(3)}) {$\underbar T$};
\node (P) at (0,0) {$\underbar P$};
\node (X) at (1,{sqrt(3)}) {$\underbar X$};
\draw (V) -- node {$\forall v_2$} (T);
\draw (V) -- nodeswap {$\forall v_1$} (X); \draw (P) -- nodeswap {$p_2$} (T); \draw (P) -- node {$p_1$} (X);
\end{tikzpicture}
\end{document}
わあ！ダイヤモンドみたい！takker.icon
錐っぽいね～
まあ錐は図式の形状が由来ではないだろうけど
どうして錐って名付けたんだろうね
きれい～井戸端の観光名所にしよう
で、これが成り立つような$ (P,p_1,p_2)を作ればいい、と
ところで数日前こんなの作りましたよね
https://scrapbox.io/files/65c5da39a748fa0025b3b7e6.svg
うまいことこれを使えないかなあ
矢印の向きが逆なので、ガッチャンコしても同じにならない
躓いたところメモ
逆写像アプローチでいけるか？
$ v_1から$ fを一意に生成できればいい
直感的には$ {p_1}^{-1}\circ v_1が$ fになる事がわかる
しかし$ {p_1}^{-1}、つまり$ P,Xを一対一に写す写像$ p_1:\underline P\to\underline Xを作れるのだろうか？
$ P,p_1は自由に決められるが
$ Xは$ \forallで束縛されており、都合のいい線型空間を選ぶことができない
どんな線型空間であっても成立するように作らないといけない
そもそも似た事例の例0.4では、逆写像を使わずに証明できている。この図式の$ fも逆写像を使わずに構成できるのではないだろうか
例0.4と同じ方法は使えない
$ Pは線型空間なので、$ \underline Pを添字集合に採用できない
(b)(a)の一意性を示せ
(c)普遍的な錐を見つけよ
code:q0.14(c).tikz(tex)
\begin{document}
\node (V) at (2,0) {$\forall\underbar V$};
\node (T) at (1,{-sqrt(3)}) {$\underbar T$};
\node (P) at (0,0) {$\underbar Q$};
\node (X) at (1,{sqrt(3)}) {$\underbar X$};
\draw (V) -- node {$\forall v_2$} (T);
\draw (V) -- nodeswap {$\forall v_1$} (X); \draw (P) -- nodeswap {$q_2$} (T); \draw (P) -- node {$q_1$} (X);
\end{tikzpicture}
\end{document}
これはhttps://scrapbox.io/files/65c5da39a748fa0025b3b7e6.svgをガッチャンコさせればいける？
$ \underline Xを添字集合にできるとは限らないから、難しいか
(d)(c)の一意性を示せ
2024-02-12 1日経ったけど解けなさそうtakker.icon
ここで止まったらおそらく二度と第1章に進まないだろう
仕方ないから飛ばすか……
いいのかなー飛ばしちゃって
飛ばしてはいけないとは誰も言っていない
まあ筆者は飛ばさないことを強く推奨しているが
でもスキップするのなんかやだなー
せめて解けないところを書いておこう
書いた