Bluemo微分積分ノート
大学一年前期の授業
Chapter 10.
f(x,y)みたいなやつ
$ ℝ^2\to ℝの写像とも言える
こういう関数ならこう言う3Dグラフ形状、というパターンが色々
$ f(x,y)=ax+by+cは平面
これは、平面をベクトルで定義したやつ（高校）でいける
https://kakeru.app/32a0235a33ac707414d08fa9243016cf https://i.kakeru.app/32a0235a33ac707414d08fa9243016cf.svg
$ f(x,y)=g(\sqrt{x^2+y^2})は回転面
回転面は壺みたいなイメージ、何かのグラフを回転して作れる立体
gには原点から(x,y)への距離が突っ込まれている
からので、原点から同じ距離の座標なら同じ出力
$ f(x,y)=g(x)は、柱面
これはまあ想像しやすいな
https://gyazo.com/9d436857ee2d8ccca7e04155f4a9357b
まあそりゃそうって感じの形状blu3mo.icon
TODO: これは三角関数と双曲線関数に対応していそうだけど、何がどう対応している?blu3mo.icon $ f(x,y)=px^2+qxy+ry^2を考える
これを平方完成すると、$ k(x+y)^2+ly^2みたいな形になる
ここで、$ X=x+y, Y=yの新しい座標系を考えれば、$ kX^2+lY^2という形式でまとめられる
なるほど〜blu3mo.icon
線形代数を学ぶともっと複雑な式も↑の形式にまとめられると言っていた
座標系を変えてるので歪んだ形ではあるけど
Chapter 6.
高校の時の方程式: 代数方程式
$ x^2+x+1=0、みたいな
微分方程式
$ y''+y'+y=0みたいな
力学でも言ってたblu3mo.icon
代数方程式と違い、微分方程式の解は関数になる
関数の代数が定義できれば、関数の代数方程式みたいなのも定義できそうだなblu3mo.icon 関数の合成を積とするなら、$ f(f(x))+f(x)+1=0みたいな感じで
解としては$ f(x)=-x-1がありますねhatori.icon
明らかに$ f(f(x))=x=-f(x)-1が成り立つ
「関数の代数方程式」は恐らく関数方程式のことを言いたいのかな？と思いました 用語は自習blu3mo.icon
一階常微分方程式
常微分ってなんだ
変数が一つの高校までの微分のことか
$ y'=f(x)g(y)という物を、変数分離型と呼ぶ これは高校でやったblu3mo.icon
微分の計算が楽なやつかblu3mo.icon
yを左辺、xを右辺に寄せて積分すればいいだけ
注意: 1/yが登場する場合、y=0のケースも考える必要がある
これ知らない用語だtakker.icon
一階斉次線型微分方程式
n階線形微分方程式とは
yと、そのn階微分の式と、定数しか出てこない様な式?
なぜこれを線形と呼ぶのかいまいち掴めていないblu3mo.icon
ヒント：$ y''+ay'+by=0\iff\begin{pmatrix}y'\\y\end{pmatrix}'=?
n階斉次線形微分方程式とは
すべての項が未知関数を含むか 0 であるような線型微分方程式
xのみの項が存在しない時、斉次微分方程式であると言う?
3.2 一階斉次線型方程式の解法
自習するblu3mo.icon
Chapter 5.
高校までの範囲
（厳密には関数が全単射になるように定義しないと逆関数にはならない）
単調にもいろいろあるんだなtakker.icon
$ \forall x\in A\forall a<x;f(a)<f(x)くらいしか知らない(これは狭義単調増加の場合)
その不等号が等号を含むと問題が起きるnishio.icon
https://gyazo.com/2f2b5c75ef88acf77ccc22b0d7d03ade
右だとf(a)とf(b)がイコールだから逆写像を作る時にaにしたらいいのかbにしたらいいのかわからなくなる
なんだ。等号の有無だけだった
もちろん大事な違い
なるほどblu3mo.icon
この言い方の方が好きnishio.iconerniogi.icontakker.icon
「狭義」って相対的な表現だし、名前だけ見ても意味がわからない
てっきり一様連続みたくいろんな種類があるのかと思った
実数の場合は定義域が決まっているから大丈夫takker.icon
$ \exp:\R\to\R_+
$ \ln:\R_+\to\R
補足：$ \R_+:=\{x\in\R|x>0\}
これなら定義域の範囲で狭義単調関数、という事かblu3mo.icon 複素数に拡張するとアウト
なつかしいtakker.icon
三角関数 <-> 逆三角関数(arcsinとか)
こっちも同様の理由で定義域を制限する
なのでarcsinとかは定義域限られる、という話
これはIBで既習blu3mo.icon
https://gyazo.com/15c7c70eb4a8b64957e0f02395300d44
微分の計算も、公式は導出できる
y=arcsinxの時にsiny=xなので、dx/dyを求めてからひっくり返していじくり回す
sinh, cosh, tanh
逆数関数もsech, csch, cothとかいう
$ \sinh x:=\frac{e^x-e^{-x}}{2}, $ \cosh x:=\frac{e^x+e^{-x}}{2}
$ \tanh x:=\frac{\sinh x}{\cosh x}として、$ \tanh x=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}
なんか見覚えがある気がするblu3mo.icon
xのところにiを混ぜると円の三角関数になるとか？nishio.icon
そういうことですtakker.icon
$ iが回転を司っている
だから双曲線関数に$ iを入れると回転し、三角関数から$ iを抜くと回転しなくなる
なるほどblu3mo.icon
ただ、これは知らなかったので既視感の正体は違う気がする
ただの気のせい?
数IIIの二次曲線でもしかした見覚えあるかも？takker.icon
あとは分数関数の積分でも出てくるかもしれない
これな気がするblu3mo.icon
指数表記された三角関数を微積分してみる？nishio.icon
$ \frac{a+b}{2},\frac{a-b}{2}系は面白いtakker.icon
なんだこれ、なぜ三角関数っぽく書く?blu3mo.icon
対称性/関係がまだ見えないblu3mo.icon
性質がにている
$ \cos^2x + \sin^2x=1 / $ \cosh^2x - \sinh^2x=1
逆やん
ピッタリ逆ってのはある意味すごく似てるのではnishio.icon
他の公式も全部符号が逆なら似ていると感じるが、そうでもなさそうblu3mo.icon
逆なのは円関数(三角関数のこと)と双曲線関数の定義を比較するととても、それはそれはとてもとてもよくわかりますtakker.icon
性質より根本の定義を確認するとしっくりくる予感はしているblu3mo.icon
形はそこまで似ていない?
近似しているとかでは無いのね
円の$ x^2+y^2=1の代わりに、双曲線$ x^2-y^2=1で定義している? 面白いぞ～この辺りはtakker.icon
発展する話題を投げておこう
$ \mathrm{Re}(z):=\frac{z+z^*}{2}、$ \mathrm{Im}(z):=\frac{z-z^*}{2i}の演算法則
$ \frac{x+x^{-1}}{2}、$ \frac{x-x^{-1}}{2}の演算法則
三角関数のもろもろの性質の、どれが$ eの効果でどれが$ iの効果なのか、どれが$ \frac{a\pm b}{2}の効果なのかがよく分かる
三角関数と双曲線関数は複素数に広げるとつながる
三角関数と双曲線関数の関係は，テイラー展開によって得られた巾級数を複素数の範囲で考察することによって，より明瞭に理解される。
詳しくは後でと言われた
え〜〜blu3mo.icon
周辺は以前調べたから自習できそう
なるほど!!!blu3mo.icon
$ \cosh z=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2} $ \sinh z=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}
cosはixをzで置き換えてるのね
三次元のcoshグラフを、虚数軸に並行/実数軸に垂直な面で切り取ればcos(x)グラフが得られる?
そうみたいblu3mo.icon
https://www.researchgate.net/profile/Bryant-Wyatt/publication/325168316/figure/fig1/AS:626761154953216@1526442912167/3D-graph-of-cosh-i-i-i-i-The-graph-of-cos-i-ii-i-is-produced-in-the-i-ii.png
全部のcosh(z)に対して実数が返ってくるわけでは無いのかblu3mo.icon
cosh(z)の値を全部描くなら四次元プロットが必要
双曲線関数の気持ちは理解できた気がするblu3mo.iconblu3mo.icon*2
これを元に双曲線関数の法則を三角関数ベースで書けば分かりそう
双曲線関数と三角関数の法則を両方expで書き出すともっと良い?
感想
授業中に書き込みが編集されると集中できない可能性はありそうblu3mo.icon
一回やってみて検証してみたい
……もしかしてリアルタイムで授業中でした？takker.icon
ですwblu3mo.icon
/icons/まじかよ.icon*3takker.iconnishio.iconerniogi.icon増井俊之.iconsta.icon
なんかすみません
人のこと言えなくて震えてるMijinko_SD.icon
面白いnishio.icon
悪くなかったので続けてみるblu3mo.icon
てか今日授業あるんだtakker.icon
水木だけ休みですblu3mo.icon
もしかしてうちも授業あったりしてtakker.icon
予備日でした
https://gyazo.com/9c00ac37c886686b69477b52687df36e
ここに書いたノートを後で/blu3moにコピペしようと思っていたけど、そうすると行リンクが壊れるのかblu3mo.icon 困るblu3mo.icon